Упр.801 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна ?R. Найдите радиус его основания.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1, A_2, A_3$$ точки касания шаров с плоскостью основания конуса, а через $$O$$ — центр основания конуса. Тогда $$A_1A_2A_3$$ — равносторонний треугольник со стороной $$2R$$, поэтому $$O$$ — его центр.

Следовательно, расстояние от центра треугольника до его вершины равно радиусу описанной окружности:

$$OA_1=\frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}R.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса $$MBD$$, где $$H$$ — середина $$BD$$. Тогда

$$BH=HD=r,$$

а высота конуса равна $$MH=\lambda R$$.

Возьмём один из шаров, например шар с центром $$O_1$$. Пусть $$C_1$$ — точка касания этого шара с конусом. В четырёхугольнике $$A_1BC_1O_1$$ углы при $$A_1$$ и $$C_1$$ прямые, значит $$A_1O_1 \perp BC_1$$ и $$C_1O_1 \perp BC_1$$. Кроме того, $$O_1A_1=O_1C_1=R$$, поэтому

$$\triangle O_1A_1B \cong \triangle O_1C_1B,$$

откуда $$A_1B=C_1B$$ и

$$\angle A_1O_1B=\frac12\angle A_1O_1C_1=\frac12\angle MBH.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBH$$ имеем

$$\tan \angle MBH=\frac{MH}{BH}=\frac{\lambda R}{r}.$$

С другой стороны, из треугольника $$O_1A_1B$$:

$$\tan \frac{\angle MBH}{2}=\frac{A_1B}{R}.$$

Так как $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$A_1A_2A_3$$, то

$$A_1H=\frac{A_1A_2}{\sqrt{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}R,$$

и потому

$$A_1B=A_1H-BH=\frac{2\sqrt{3}}{3}R-r.$$

Обозначим