Упр.801 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На плоскости лежат три шара радиуса $$R$$, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна $$?R$$. Найдите радиус его основания.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,A_2,A_3$$ точки касания шаров с плоскостью основания конуса, а через $$O$$ — центр основания конуса. Тогда $$A_1A_2A_3$$ — равносторонний треугольник со стороной $$2R$$, поэтому $$O$$ — его центр, и

$$OA_1=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса $$MBD$$, где $$H$$ — середина $$BD$$. Тогда

$$BH=HD=r,$$

а высота конуса равна $$MH=\lambda R$$.

Пусть шар радиуса $$R$$ касается образующей конуса в точке $$C_1$$. Тогда в плоскости, проходящей через ось конуса и центр шара, получаем прямоугольные треугольники, из которых следует:

$$\tan \angle MBH=\frac{MH}{BH}=\frac{\lambda R}{r}.$$

С другой стороны, из геометрии касания шара и конуса:

$$\tan \frac{\angle MBH}{2}=\frac{A_1B}{R}.$$

Так как

$$A_1B=A_1H-BH=\frac{2R\sqrt{3}}{3}-r,$$

то

$$\tan \frac{\angle MBH}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\tan \angle MBH=\frac{2\tan \frac{\angle MBH}{2}}{1-\tan^2 \frac{\angle MBH}{2}}.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\frac{\lambda R}{r}=\frac{2\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}\right)}{1-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}\right)^2}.$$

После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $$r$$:

$$3(\lambda-2)r^2-4\sqrt{3}(\lambda-1)Rr+\lambda R^2=0.$$

Если $$\lambda=2$$, то

$$-4\sqrt{3}Rr+2R^2=0,$$

откуда

$$r=\frac{\sqrt{3}}{6}R.$$

Если $$\lambda\ne 2$$, то

$$r=R\cdot \frac{2\sqrt{3}(\lambda-1)-\sqrt{9\lambda^2-18\lambda+12}}{3(\lambda-2)}.$$

Ответ: $$r=R\cdot \frac{2\sqrt{3}(\lambda-1)-\sqrt{9\lambda^2-18\lambda+12}}{3(\lambda-2)}$$ при $$\lambda\ne 2$$, $$r=\frac{\sqrt{3}}{6}R$$ при $$\lambda=2$$.