Упр.800 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса r, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

Подробный ответ

Рассмотрим проекции центров шаров на плоскость $$a$$. Обозначим центры больших шаров через $$O_1, O_2, O_3, O_4$$, а центры малых — через $$O_5, O_6$$.

Так как три шара радиуса $$R$$ попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них, то расстояния между соответствующими центрами на плоскости равны $$2R$$. Следовательно, четырёхугольник $$O_1O_2O_3O_4$$ — ромб со стороной $$2R$$.

Пусть шар $$O_5$$ касается шаров $$O_1, O_2, O_4$$, а шар $$O_6$$ — шаров $$O_2, O_3, O_4$$. Тогда проекции центров $$O_5$$ и $$O_6$$ на плоскость $$a$$ являются центрами окружностей, вписанных в треугольники $$\triangle O_1O_2O_4$$ и $$\triangle O_2O_3O_4$$ соответственно, поскольку расстояния от этих точек до сторон треугольников равны радиусу $$r$$.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, поэтому точки $$O_5$$ и $$O_6$$ лежат на диагонали $$O_2O_4$$. Значит, в плоскости рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OO_2O_5$$, где $$O$$ — проекция точки касания шаров $$O_2$$ и $$O_4$$ на плоскость $$a$$.

Имеем:

$$O_5O=r,\qquad OO_2=R,$$
$$\angle OO_2O_5=30^\circ,$$
так как диагональ ромба делит угол $$60^\circ$$ пополам.

Тогда

$$r=OO_2\cdot \tg 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.$$