Упр.800 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На плоскости лежат четыре шара радиуса $$R$$, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса $$r$$, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

Рассмотрим проекции центров шаров на плоскость $$a$$.

Так как три шара радиуса $$R$$ попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них, то проекции их центров образуют ромб со стороной $$2R$$. Обозначим эти проекции через $$O_1, O_2, O_3, O_4$$.

Пусть шары $$O_5$$ и $$O_6$$ радиуса $$r$$ касаются друг друга и каждого из трёх больших шаров. Тогда проекции их центров на плоскость $$a$$ являются центрами треугольников, образованных соответствующими тремя точками $$O_1, O_2, O_4$$ и $$O_2, O_3, O_4$$, так как расстояния от центров малых шаров до вершин этих треугольников равны.

Следовательно, точки $$O_5$$ и $$O_6$$ лежат на медианах и высотах этих треугольников, а значит, прямая $$O_5O_6$$ перпендикулярна $$O_2O_4$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OO_2O_5$$, где $$O$$ — проекция точки касания шаров $$O_2$$ и $$O_4$$ на плоскость $$a$$. Тогда

$$O_5O=r,$$
$$OO_2=R,$$
$$O_2O_5$$ — биссектриса угла $$\angle O_4O_2O_1$$.

Так как $$O_1O_2O_4O_3$$ — ромб, то $$\angle O_4O_2O_1=60^\circ$$, значит

$$\angle OO_2O_5=30^\circ.$$

Тогда

$$r=O_2O\cdot \tan 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}R$$.