Упр.80 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечения плоскостями $$ABC_1$$ и $$DCB_1$$, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.
Построим сечение плоскостью $$ABC_1$$.
Плоскости $$BB_1C_1C$$ и $$AA_1D_1D$$ параллельны, значит, их линии пересечения с плоскостью $$ABC_1$$ параллельны. Так как плоскость $$ABC_1$$ проходит через точку $$A$$ и содержит прямую $$BC_1$$, то в грани $$AA_1D_1D$$ она пересекает ребро $$AD_1$$, причём $$AD_1 \parallel BC_1$$.
Кроме того, плоскость $$ABC_1$$ пересекает грань $$AA_1B_1B$$ по прямой $$AB$$, а грань $$DD_1C_1C$$ — по прямой $$D_1C_1$$. Эти прямые параллельны, так как лежат в параллельных гранях и соответствуют параллельным рёбрам параллелепипеда.
Следовательно, сечение плоскостью $$ABC_1$$ — параллелограмм $$ABC_1D_1$$.
Теперь построим сечение плоскостью $$DCB_1$$.
Точка $$D$$ принадлежит плоскости $$DCB_1$$ и грани $$AA_1D_1D$$. В этой грани через точку $$D$$ проводим прямую, параллельную $$CB_1$$. Так как $$CB_1 \parallel DA_1$$, то искомая линия пересечения этой плоскости с гранью $$AA_1D_1D$$ — прямая $$DA_1$$.
Значит, сечение плоскостью $$DCB_1$$ — четырёхугольник $$DCB_1A_1$$.
Обозначим через $$P$$ и $$Q$$ центры граней $$AA_1D_1D$$ и $$BB_1C_1C$$ соответственно. Тогда отрезок, по которому пересекаются построенные сечения, соединяет эти точки:
$$PQ$$.
Ответ: сечение плоскостью $$ABC_1$$ — параллелограмм $$ABC_1D_1$$, сечение плоскостью $$DCB_1$$ — четырёхугольник $$DCB_1A_1$$, линия их пересечения — отрезок $$PQ$$.
