Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Углы $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ равны $$45^\circ$$ и $$60^\circ$$. Отрезки $$AM$$, $$BN$$ и $$CK$$ — высоты треугольника. Найдите отношение $$\frac{MN}{KN}$$.

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда радиусы $$OM$$, $$ON$$ и $$OK$$ перпендикулярны сторонам $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно.

Для угла между радиусами, проведёнными к точкам касания, имеем:

$$\angle MON=180^\circ-\frac12\left(180^\circ-\angle MKN\right).$$

Так как $$\angle MKN$$ — угол между сторонами $$AB$$ и $$AC$$, то

$$\angle MON=180^\circ-90^\circ+\frac12\angle MKN=90^\circ+\frac12\angle K.$$

Найдём углы треугольника $$MKN$$ через углы треугольника $$ABC$$:

$$\angle K=2(90^\circ-\angle C), \qquad \angle M=2(90^\circ-\angle A).$$

Тогда

$$\angle K=2(90^\circ-60^\circ)=60^\circ,$$

$$\angle M=2(90^\circ-45^\circ)=90^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$MKN$$

$$\angle N=180^\circ-\angle M-\angle K=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$MKN$$:

$$\frac{MN}{KN}=\cos \angle N=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.