Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите тангенс угла между плоскостями $$ABC$$ и $$CA_1B_1$$.

Обозначим точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$A_1E=B_1E$$ и $$AF=BF$$. Тогда $$E$$ — середина ребра $$A_1B_1$$, а $$F$$ — середина ребра $$AB$$.

В равнобедренном треугольнике $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$CE \perp A_1B_1,\qquad A_1E=B_1E=\frac{A_1B_1}{2}=\frac12.$$

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$AF=BF=\frac{AB}{2}=\frac12,\qquad CF\perp AB.$$

Найдём $$CF$$:

$$CF=\sqrt{AC^2-AF^2} =\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac34} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Для призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ прямая $$EF$$ перпендикулярна $$AB$$, поэтому угол $$\angle ECF$$ является искомым углом между плоскостями $$ABC$$ и $$CA_1B_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$ECF$$

$$\tan \angle ECF=\frac{EF}{CF}.$$

Так как $$EF=1$$, а $$CF=\frac{\sqrt3}{2}$$, то

$$\tan \angle ECF=\frac{1}{\sqrt3/2}=\frac{2}{\sqrt3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt3}$$.