Упр.799 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

Пусть радиусы шаров упорядочены так: $$r_1\ge r_2\ge r_3.$$ Обозначим точки касания общей касательной плоскости с шарами через $$A_1,\ A_2,\ A_3.$$

Для двух касающихся шаров расстояние между точками касания их общей касательной плоскости равно

$$A_1A_2=\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

Аналогично,

$$A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3},\qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}.$$

Так как $$r_1\ge r_2\ge r_3,$$ то

$$A_1A_2\ge A_1A_3\ge A_2A_3.$$

Чтобы точки $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ лежали на одной прямой, должно выполняться

$$A_1A_3+A_2A_3=A_1A_2.$$

Подставим найденные выражения:

$$2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

Делим на $$2$$ и выносим $$\sqrt{r_3}$$:

$$\left(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}\right)\sqrt{r_3}=\sqrt{r_1r_2}.$$

Отсюда

$$r_3=\frac{r_1r_2}{\left(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}\right)^2}.$$

Итак, общая касательная плоскость к трём попарно касающимся шарам существует тогда и только тогда, когда радиусы удовлетворяют условию

$$r_3=\frac{r_1r_2}{\left(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}\right)^2}$$

при $$r_1\ge r_2\ge r_3.$$