Упр.798 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдр с высотами $$h_1, h_2, h_3, h_4$$ вписан шар радиуса $$R$$. Докажите, что $$\frac{1}{R}=\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}.$$

Подробный ответ

Обозначим через $$S_1,S_2,S_3,S_4$$ площади граней тетраэдра, к которым опущены высоты $$h_1,h_2,h_3,h_4$$ соответственно.

Объём тетраэдра можно выразить через любую его грань и соответствующую высоту:

$$V=\frac13 S_i h_i,\qquad i=1,2,3,4.$$

Отсюда

$$S_i=\frac{3V}{h_i}.$$

Так как в тетраэдр вписан шар радиуса $$R$$, то центр шара $$O$$ равноудалён от всех граней, а расстояние от точки $$O$$ до каждой грани равно $$R$$. Поэтому весь тетраэдр разбивается на четыре пирамиды с общей вершиной $$O$$, основаниями которых служат грани тетраэдра, а высота каждой такой пирамиды равна $$R$$.

Тогда объём тетраэдра равен сумме объёмов этих четырёх пирамид:

$$V=\sum_{i=1}^{4}\frac13 S_iR.$$

Подставим сюда выражение для $$S_i$$:

$$V=\sum_{i=1}^{4}\frac13\cdot \frac{3V}{h_i}\cdot R =VR\sum_{i=1}^{4}\frac1{h_i}.$$

Так как $$V\neq 0$$, сокращаем на $$V$$:

$$1=R\left(\frac1{h_1}+\frac1{h_2}+\frac1{h_3}+\frac1{h_4}\right).$$

Следовательно,

$$\frac1R=\frac1{h_1}+\frac1{h_2}+\frac1{h_3}+\frac1{h_4}.$$