Упр.797 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Подробный ответ

Пусть из точки $$D$$ к сфере проведены касательные $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$, причём $$DA \perp DB$$, $$DB \perp DC$$, $$DC \perp DA$$. Тогда точки касания $$A, B, C$$ лежат на сфере, а радиусы $$OA, OB, OC$$ перпендикулярны соответствующим касательным.

Так как $$OA=OB=OC=R$$ и $$DO$$ — общая гипотенуза прямоугольных треугольников $$\triangle ADO$$, $$\triangle BDO$$, $$\triangle CDO$$, то

$$\triangle ADO \cong \triangle BDO \cong \triangle CDO,$$

откуда

$$DA=DB=DC.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle ADB$$, $$\triangle BDC$$ и $$\triangle ADC$$ равны по двум катетам, значит

$$AB=BC=CA.$$

Итак, $$\triangle ABC$$ — равносторонний. Обозначим через $$H$$ его центр. Тогда прямая $$DH$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а точка $$H$$ лежит на прямой $$DO$$.

Обозначим $$DA=a$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.$$

Для равностороннего треугольника $$ABC$$ его высота равна

$$AH=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OHA$$ и $$DHA$$. Они подобны, так как $$\angle OAH=\angle DAH=90^\circ$$ и угол при $$H$$ общий. Поэтому

$$\frac{OH}{DH}=\frac{AH}{AD}=\frac{a\sqrt{2}/\sqrt{3}}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Так как $$OD=OH+DH$$, то из подобия получаем

$$\frac{OH}{OD}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{DH}{OD}=\frac{1}{3}.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$OAD$$:

$$OD^2=OA^2+AD^2=R^2+a^2.$$

С другой стороны, из подобия треугольников $$OHA$$ и $$DHA$$ следует

$$\frac{OH}{DH}=\frac{OA}{AD}=\frac{R}{a}.$$