Упр.797 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Подробный ответ

Пусть из точки $$D$$ к сфере проведены три касательные прямые $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$, причём они попарно перпендикулярны.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то

$$OA \perp DA,\quad OB \perp DB,\quad OC \perp DC,$$

где $$O$$ — центр сферы, а $$OA=OB=OC=R$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ADO$$, $$\triangle BDO$$ и $$\triangle CDO$$. У них общий гипотенуза $$DO$$ и равные катеты $$OA=OB=OC$$, значит, эти треугольники равны. Отсюда

$$DA=DB=DC.$$

Обозначим $$DA=DB=DC=a$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle ADB$$, где $$DA \perp DB$$, получаем

$$AB=\sqrt{DA^2+DB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Аналогично

$$BC=CA=a\sqrt{2},$$

то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Пусть $$H$$ — центр треугольника $$ABC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$H$$ является также центром описанной окружности, поэтому

$$AH=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Так как прямые $$DA$$, $$DB$$, $$DC$$ попарно перпендикулярны, то точка $$D$$ лежит на перпендикуляре к плоскости $$ABC$$, проведённом через центр треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$DH \perp ABC$$ и точка $$H$$ лежит на прямой $$DO$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OAD$$. В нём

$$OD^2=OA^2+AD^2=R^2+a^2.$$

С другой стороны, из подобия треугольников $$\triangle OAD$$ и $$\triangle HAD$$ получаем

$$\frac{OA}{OD}=\frac{AH}{AD}.$$

Подставим найденное значение $$AH$$:

$$\frac{R}{OD}=\frac{a\sqrt{2}/\sqrt{3}}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Отсюда

$$OD=R\sqrt{\frac{3}{2}}.$$

Теперь найдём $$a$$ из равенства

$$OD^2=R^2+a^2.$$

Тогда

$$R^2\cdot \frac{3}{2}=R^2+a^2,$$