Упр.796 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Подробный ответ

Рассмотрим одну из плоскостей сечения $$\gamma$$, проходящую через прямую $$a$$. Сечение шара этой плоскостью — окружность. Обозначим её центр через $$C$$.

Так как прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\gamma$$, а центр окружности $$C$$ соединён с любой точкой окружности радиусом, перпендикулярным касательной, то в частности можно провести в плоскости $$\gamma$$ прямую $$CA$$, перпендикулярную $$a$$, где $$A \in a$$. Тогда $$CA \perp a$$.

Рассмотрим плоскость $$\beta = OAC$$, где $$O$$ — центр шара. Поскольку $$a \subset \gamma$$ и $$CA \perp a$$, а также $$OC \perp CA$$, то прямая $$OC$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma$$. Значит, $$\beta \perp \gamma$$.

В треугольнике $$OCA$$ угол $$\angle OCA = 90^\circ$$, поэтому точки $$O, C, A$$ лежат на окружности с диаметром $$OA$$. Следовательно, точка $$C$$ принадлежит окружности, построенной на диаметре $$OA$$.

При этом $$A$$ — произвольная точка прямой $$a$$, а значит, при всех возможных положениях секущей плоскости центры сечений заполняют дугу окружности, лежащую в плоскости, перпендикулярной прямой $$a$$.

Итак, множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через прямую $$a$$, — это дуга окружности, расположенная внутри шара, с диаметром $$OA$$, где $$OA$$ равно расстоянию от центра шара до прямой $$a$$.