Упр.794 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все плоские углы тетраэдра $$OABC$$ при вершине $$O$$ прямые. Докажите, что проекция вершины $$O$$ на плоскость $$ABC$$ есть точка пересечения высот треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$O_1$$ проекцию точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$.

Так как все плоские углы тетраэдра при вершине $$O$$ прямые, то

$$OA \perp OB,\quad OB \perp OC,\quad OC \perp OA.$$

Докажем, что $$O_1A \perp BC$$. Для этого рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{O_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A} =(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1})$$
$$=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OO_1} -\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OO_1}.$$

Но $$OC \perp OA$$, $$OB \perp OA$$, а также $$OO_1 \perp (ABC)$$, значит $$OO_1 \perp BC$$ и потому $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OO_1}=0$$. Следовательно, все слагаемые равны нулю, и

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A}=0,$$

то есть $$BC \perp O_1A$$.

Аналогично получаем:

$$AC \perp O_1B,\qquad AB \perp O_1C.$$

Значит, точка $$O_1$$ лежит на всех трёх высотах треугольника $$ABC$$, то есть является точкой их пересечения.

Ответ: проекция вершины $$O$$ на плоскость $$ABC$$ — ортоцентр треугольника $$ABC$$.