Упр.793 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими рёбрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.

Обозначим через $$\vec{DA},\ \vec{DB},\ \vec{DC}$$ векторы боковых рёбер тетраэдра. По условию

$$AD=BD=CD=a,$$

а также

$$\angle ADH=\angle BDH=\angle CDH=\varphi.$$

Тогда скалярные произведения равны:

$$\vec{DA}\cdot\vec{DH}=\vec{DB}\cdot\vec{DH}=\vec{DC}\cdot\vec{DH}=a\cdot DH\cdot \cos\varphi.$$

Вычтем попарно равные выражения:

$$\left(\vec{DB}-\vec{DA}\right)\cdot\vec{DH}=0,$$

$$\left(\vec{DC}-\vec{DA}\right)\cdot\vec{DH}=0.$$

Но

$$\vec{DB}-\vec{DA}=\vec{AB}, \qquad \vec{DC}-\vec{DA}=\vec{AC}.$$

Следовательно,

$$\vec{AB}\cdot\vec{DH}=0,\qquad \vec{AC}\cdot\vec{DH}=0.$$

Значит,

$$DH\perp AB \quad \text{и} \quad DH\perp AC.$$

Прямые $$AB$$ и $$AC$$ лежат в плоскости $$ABC$$ и пересекаются, поэтому прямая, перпендикулярная обеим этим прямым, перпендикулярна всей плоскости:

$$DH\perp ABC.$$

Ответ

$$DH\perp ABC.$$