Упр.792 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1,\,DD_1$$ — высоты тетраэдра $$ABCD$$.

Доказательство

1. Необходимость. Допустим, что высоты пересекаются в одной точке $$K$$. Тогда прямая $$DC$$ пересекает плоскость $$ABK$$ в точке $$L$$.

Так как $$AA_1 \perp BCD$$ и $$DC \subset BCD$$, то $$AA_1 \perp DC$$. Аналогично $$BB_1 \perp DC$$.

Поскольку $$AA_1 \subset ABK$$ и $$BB_1 \subset ABK$$, то прямая $$DC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$ABK$$, значит,

$$DC \perp AB.$$

Аналогично получаем:

$$BD \perp AC,\qquad DA \perp BC.$$

2. Достаточность. Теперь пусть

$$DC \perp AB,\qquad BD \perp AC,\qquad DA \perp BC.$$

Так как $$AA_1 \perp BCD$$ и $$DC \subset BCD$$, то $$AA_1 \perp DC$$. Кроме того, из $$AB \perp DC$$ и $$AA_1 \perp DC$$ следует, что плоскость $$ABA_1$$ перпендикулярна прямой $$DC$$.

Пусть $$BB_2$$ — высота треугольника $$ABL$$, где $$L$$ — точка пересечения прямой $$DC$$ с плоскостью $$ABK$$. Тогда $$BB_2 \perp AL$$ и $$BB_2 \perp DC$$, а значит, $$BB_2 \perp ACD$$. Следовательно, $$BB_2$$ совпадает с высотой $$BB_1$$.

Значит, высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются. Аналогично доказывается, что и остальные высоты проходят через ту же точку. Следовательно, все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Итак, высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно перпендикулярны.