Упр.791 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что ?BAC=60°, ?BAD=?DAC=45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.
Обозначим $$AB=AD=a$$. Из условия $$\angle BAD=45^\circ$$, а также $$\angle BAC=60^\circ$$, значит
$$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=60^\circ-45^\circ=15^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как луч $$AE$$ перпендикулярен плоскости $$ABD$$, то $$AE\perp AB$$. Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ угол при вершине $$A$$ равен $$60^\circ$$, и по условию решения из учебника удобно использовать построение с прямоугольным треугольником, где
$$AC=2AB=2a,$$
а тогда
$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt3.$$
В треугольнике $$ACD$$ имеем
$$DC=AC\sin 45^\circ=2a\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a\sqrt2,$$
$$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt2.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:
$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 45^\circ $$
$$ BD^2=a^2+2a^2-2\cdot a\cdot a\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a^2. $$
Значит, $$BD=a$$. Тогда в треугольнике $$BDC$$:
$$ BC^2=BD^2+DC^2 $$
$$ 3a^2=a^2+2a^2, $$
то есть треугольник $$BDC$$ прямоугольный, следовательно, $$CD\perp BD$$.
Так как $$CD\perp BD$$ и $$CD\perp AD$$, то $$CD\perp (ABD)$$. Но по условию $$AE\perp (ABD)$$, значит прямые $$CD$$ и $$AE$$ параллельны.
Теперь рассмотрим угол $$\angle CAE$$. Если точки $$C$$ и $$E$$ лежат по одну сторону от плоскости $$ABD$$, то
$$\angle CAE=\angle ACD=90^\circ-\angle CAD=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Если точки $$C$$ и $$E$$ лежат по разные стороны от плоскости $$ABD$$, то
$$\angle CAE=180^\circ-\angle ACD=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
Ответ
$$45^\circ$$ или $$135^\circ$$.