Упр.791 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки А исходят четыре луча АВ, АС, АD и АЕ так, что $$\angle BAC=60^\circ$$, $$\angle BAD=\angle DAC=45^\circ$$, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ длину отрезка $$AB$$. Тогда из условия $$\angle BAD=\angle DAC=45^\circ$$ следует, что луч $$AD$$ — биссектриса угла $$\angle BAC$$, а значит

$$\angle BAC=60^\circ,\qquad \angle BAD=\angle DAC=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он прямоугольный, так как по построению $$CB\perp AB$$. Тогда

$$\angle BCA=90^\circ-\angle BAC=30^\circ,$$

и в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$AC=2AB=2a,$$

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt3.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$, где $$CD\perp AD$$. Тогда

$$DC=AC\sin45^\circ=2a\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a\sqrt2,$$

$$AD=AC\cos45^\circ=2a\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a\sqrt2.$$

Найдём $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos45^\circ$$

$$BD^2=a^2+2a^2-2\cdot a\cdot a\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a^2.$$

Значит, $$BD=a$$.

Проверим треугольник $$BDC$$:

$$BD^2+DC^2=a^2+2a^2=3a^2=BC^2.$$

Следовательно, треугольник $$BDC$$ прямоугольный, и потому $$CD\perp BD$$. Так как $$CD\perp AD$$, то прямая $$CD$$ перпендикулярна плоскости $$ABD$$.

Поскольку $$AE\perp (ABD)$$, то прямая $$AE$$ тоже перпендикулярна плоскости $$ABD$$. Значит, $$AE\parallel CD$$.

Теперь угол $$\angle CAE$$ равен углу между прямой $$AC$$ и прямой, параллельной $$CD$$. Поэтому возможны два случая:

если точки $$C$$ и $$E$$ лежат по одну сторону от плоскости $$ABD$$, то

$$\angle CAE=\angle ACD=90^\circ-\angle DAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ;$$

если точки $$C$$ и $$E$$ лежат по разные стороны от плоскости $$ABD$$, то

$$\angle CAE=180^\circ-\angle ACD=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$ или $$135^\circ$$.