Упр.790 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание АВС тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до неё с помощью лазера.)

Подробный ответ

Введём систему координат так, чтобы оси были направлены вдоль рёбер тетраэдра:

$$OX \parallel OA,\qquad OY \parallel OB,\qquad OZ \parallel OC.$$

Пусть направляющий вектор падающего луча равен $$\vec a_1=\{x,y,z\}.$$

При отражении от плоскости $$AOB$$ меняется знак у координаты, перпендикулярной этой плоскости, поэтому направляющий вектор станет

$$\vec a_2=\{x,y,-z\}.$$

Затем луч отражается от плоскости $$AOC$$. После этого меняется знак у координаты, перпендикулярной плоскости $$AOC$$, и получаем

$$\vec a_3=\{x,-y,-z\}.$$

Наконец, при отражении от плоскости $$BOC$$ направляющий вектор станет

$$\vec a_4=\{-x,-y,-z\}.$$

Но

$$\vec a_4=-\vec a_1.$$

Значит, после отражения от всех трёх зеркальных граней луч выйдет в направлении, противоположном направлению падающего луча. Порядок отражений несущественен: при каждом отражении меняется знак одной из координат, и после трёх отражений все три знака меняются на противоположные.