Упр.79 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение: а) плоскостью $$ABC_1$$; б) плоскостью $$ACC_1$$. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

а) Рассмотрим сечение плоскостью $$ABC_1$$.

Плоскости $$BB_1C_1C$$ и $$AA_1D_1D$$ — противоположные грани параллелепипеда, значит, они параллельны. Поэтому линия пересечения плоскости $$ABC_1$$ с плоскостью $$AA_1D_1D$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна прямой $$BC_1$$. Следовательно, эта линия — $$AD$$.

Значит, искомое сечение — четырёхугольник $$ABC_1D_1$$.

Докажем, что он является параллелограммом:

$$AB \parallel C_1D_1,$$
так как $$AB \parallel CD$$, а $$CD \parallel C_1D_1$$;

$$AB = CD,$$
а в параллелепипеде противоположные рёбра равны, значит $$CD = C_1D_1$$.

Отсюда $$AB \parallel C_1D_1$$ и $$AB = C_1D_1$$. Следовательно, $$ABC_1D_1$$ — параллелограмм.

б) Рассмотрим сечение плоскостью $$ACC_1$$.

Плоскости граней $$B_1C_1CB$$ и $$AD D_1A_1$$ пересечены плоскостью $$ACC_1$$ по прямым, проходящим через точки $$C$$ и $$A$$ соответственно. Эти прямые параллельны, так как $$AA_1 \parallel CC_1$$.

Следовательно, сечение — четырёхугольник $$ACC_1A_1$$.

Докажем, что это параллелограмм:

$$AA_1 \parallel CC_1,$$
так как это противоположные рёбра параллелепипеда;

$$AA_1 = CC_1.$$

Значит, в четырёхугольнике $$ACC_1A_1$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Поэтому $$ACC_1A_1$$ — параллелограмм.