Упр.788 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильном треугольнике АВС сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости АВС, взяты точки D а Е так, что BD=a/v2, CE=av2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями АВС и ADE.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ точку пересечения прямой $$ED$$ с прямой $$BC$$. Проведём в плоскости $$DCE$$ прямую $$DF \perp EC$$, тогда $$DF \parallel BC$$, так как $$BC \perp CE$$ и $$DF \perp CE$$.

Так как точки $$D$$ и $$E$$ лежат на сонаправленных лучах, перпендикулярных плоскости $$ABC$$, то $$BD \perp ABC$$ и $$CE \perp ABC$$. Следовательно, $$BD \parallel CE$$, а значит, четырёхугольник $$BDEC$$ — трапеция с параллельными боковыми сторонами.

Из условия $$BD=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$$ и $$CE=a\sqrt{2}$$. Тогда

$$ FC=BD=\frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad EF=CE-FC=a\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}. $$

Кроме того, $$HD=DE$$ и $$HB=BC=a$$.

Найдём длины отрезков в прямоугольных треугольниках:

$$ AD=\sqrt{AB^2+BD^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}} =a\sqrt{\frac{3}{2}}, $$

$$ AE=\sqrt{AC^2+CE^2} =\sqrt{a^2+2a^2} =a\sqrt{3}, $$

$$ DE=\sqrt{DF^2+EF^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}} =a\sqrt{\frac{3}{2}}. $$

В треугольнике $$ADE$$ получаем:

$$ AD^2+DE^2=\frac{3a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}=3a^2=AE^2. $$

Значит, $$\angle ADE=90^\circ$$, то есть треугольник $$ADE$$ прямоугольный.

Теперь найдём угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADE$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle CBA=60^\circ$$, поэтому в треугольнике $$HBA$$:

$$ \angle HBA=180^\circ-60^\circ=120^\circ. $$

Так как $$HB=BA=a$$, то треугольник $$HBA$$ равнобедренный, следовательно,

$$ \angle HAB=\angle AHB=30^\circ. $$

Тогда

$$ \angle HAC=\angle HAB+\angle BAC=30^\circ+60^\circ=90^\circ. $$

По теореме о трёх перпендикулярах $$HA \perp AE$$, а значит, угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADE$$ равен углу $$\angle EAC$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$ \cos \angle EAC=\frac{AC}{AE}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Следовательно,

$$ \angle(ABC, ADE)=\angle EAC=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}. $$