Упр.787 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильном треугольнике $$ABC$$ сторона равна $$a$$. Отрезок $$AS$$ длины $$a$$ перпендикулярен к плоскости $$ABC$$. Найдите расстояние и угол между прямыми $$AB$$ и $$SC$$.

Подробный ответ

Рассмотрим тетраэдр $$ASBC$$. Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$AB=BC=CA=a$$, а по условию $$AS\perp (ABC)$$ и $$AS=a$$.

Найдём угол между прямыми $$AB$$ и $$SC$$. Для этого удобно рассмотреть параллелограмм $$ABCD$$, где $$DC\parallel AB$$. Тогда угол между $$AB$$ и $$SC$$ равен углу между $$DC$$ и $$SC$$, то есть $$\angle (AB,SC)=\angle SCD$$.

В прямоугольном треугольнике $$ASC$$:

$$SC=\sqrt{AS^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.$$

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$SDC$$ отрезок $$SM$$ является высотой, поэтому $$CM=\dfrac{DC}{2}=\dfrac a2$$. В прямоугольном треугольнике $$SCM$$ имеем

$$\cos \angle SCD=\frac{CM}{SC}=\frac{a/2}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Следовательно,

$$\angle (AB,SC)=\arccos \frac{\sqrt2}{4}.$$

Теперь найдём расстояние между прямыми $$AB$$ и $$SC$$. Это высота тетраэдра $$ASCD$$, то есть отрезок $$AH$$, где $$AH\perp (SCD)$$.

Найдём площадь треугольника $$SCD$$ двумя способами.

С одной стороны, в треугольнике $$SCM$$:

$$SM=\sqrt{SC^2-CM^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt7}{2}.$$

Тогда

$$S_{SCD}=\frac12\cdot CD\cdot SM=\frac12\cdot a\cdot \frac{a\sqrt7}{2}=\frac{a^2\sqrt7}{4}.$$

С другой стороны, в равностороннем треугольнике $$ACD$$:

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot DC\cdot \sin 60^\circ=\frac12\cdot a\cdot a\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Объём тетраэдра $$ASCD$$ можно выразить через разные основания: