Упр.786 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.

Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка. Поэтому при повороте икосаэдра вокруг этой оси на $$72^\circ$$ он совмещается сам с собой.

Рассмотрим одну из вершин, например $$A_1$$. При повороте на $$72^\circ$$ центры пяти граней, прилежащих к этой вершине, переходят друг в друга:

$$O_1 \to O_2,\quad O_2 \to O_3,\quad O_3 \to O_4,\quad O_4 \to O_5,\quad O_5 \to O_1.$$

Следовательно, точки $$O_1, O_2, O_3, O_4, O_5$$ являются вершинами правильного пятиугольника.

Аналогично, для каждой вершины икосаэдра центры пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник. Всего у икосаэдра $$20$$ граней, значит, получаем $$12$$ правильных пятиугольников, составленных из центров граней.

Итак, все точки $$O_1, O_2, \ldots, O_{20}$$ являются вершинами правильного додекаэдра.

Ответ: центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.