Упр.785 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного додекаэдра, является осью симметрии третьего порядка. Поэтому при повороте додекаэдра вокруг этой оси на $$120^\circ$$ он совмещается сам с собой.
Пусть при таком повороте одна из граней с центром $$O_1$$ переходит в грань с центром $$O_2$$, а затем в грань с центром $$O_3$$. Тогда точки $$O_1, O_2, O_3$$ переходят друг в друга при повороте на $$120^\circ$$, значит, треугольник $$O_1O_2O_3$$ равносторонний.
Аналогично, для каждой вершины правильного додекаэдра три центры соседних граней образуют равносторонний треугольник. Следовательно, среди точек $$O_1, O_2, \ldots, O_{12}$$ получаются все грани, являющиеся правильными треугольниками.
Итак, двенадцать центров граней правильного додекаэдра являются вершинами многогранника, все грани которого — равносторонние треугольники. Такой многогранник есть правильный икосаэдр.
Ответ: центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
