Упр.785 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: A_1 A_2…A_20-правильный додекаэдр; O_1,O_2,…,O_12-центры всех граней додекаэдра;
Доказать: O_1 O_2…O_12-правильный икосаэдр;
Доказательство:
1) Прямая,соединяющая две противоположные вершины правильного додекаэдра является осью
симметрии третьего порядка,то есть додекаэдр совмещается с собой при повороте на 120;
2) Пусть додекаэр вращается вокруг оси,проходящей через вершину A_1,тогда при повороте на 120 точка O_1 переходит в точку O_2,O_2 в O_3 и O_3 в O_1,следовательно треугольник O_1 O_2 O_3 является равносторонним;
3) Аналогично для осей проходящих через каждую вершину,значит каждые точки центров трех соседних граней додекаэдра образуют правильный треугольник;
4) Двенадцать точек центров граней образуют двадцать правильных треугольников,они являются вершинами правильного икосаэдра,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим правильный додекаэдр. У него вокруг каждой вершины сходятся три равные грани, а поворот вокруг оси, проходящей через противоположные вершины, переводит додекаэдр в себя на $$120^\circ$$.

Пусть ось симметрии проходит через вершину $$A_1$$. При повороте додекаэдра на $$120^\circ$$ три грани, сходящиеся в этой вершине, переходят друг в друга. Значит, их центры $$O_1, O_2, O_3$$ также переходят друг в друга:

$$O_1 \to O_2,\quad O_2 \to O_3,\quad O_3 \to O_1.$$

Следовательно, треугольник $$O_1O_2O_3$$ равносторонний.

Аналогично для каждой вершины правильного додекаэдра: центры трёх граней, сходящихся в одной вершине, образуют равносторонний треугольник. Таких треугольников получается $$20$$, и их вершинами являются все $$12$$ центров граней додекаэдра.

Но именно так устроен правильный икосаэдр: его грани — равносторонние треугольники, а в каждой вершине сходятся пять таких треугольников. Значит, точки $$O_1, O_2, \ldots, O_{12}$$ являются вершинами правильного икосаэдра.