Упр.784 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра $$ABCD$$ при этом не изменяется.

Подробный ответ

Пусть отрезок $$CD$$ перемещается в положение $$C’D’$$, оставаясь на той же прямой. Тогда треугольники $$BCD$$ и $$BC’D’$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую, содержащую эти отрезки, а основания равны: $$CD=C’D’$$. Следовательно,

$$S_{BCD}=S_{BC’D’}.$$

Треугольники $$BCD$$ и $$BC’D’$$ лежат в одной плоскости, значит тетраэдры $$ABCD$$ и $$ABC’D’$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на эту плоскость. Поэтому

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{BCD}\cdot h,\qquad V_{ABC’D’}=\frac13 S_{BC’D’}\cdot h.$$

Так как $$S_{BCD}=S_{BC’D’}$$, то

$$V_{ABCD}=V_{ABC’D’}.$$

Аналогично, если неподвижен отрезок $$CD$$, а перемещается отрезок $$AB$$, объём тетраэдра также не изменяется. Значит, при перемещении отрезков $$AB$$ и $$CD$$ по скрещивающимся прямым объём тетраэдра $$ABCD$$ остаётся постоянным.