Упр.784 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки АВ и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется.

Подробный ответ

Пусть сначала неподвижен отрезок $$AB$$, а отрезок $$CD$$ перемещается в положение $$C’D’$$ по прямой $$b$$.

Тогда точки $$C, D, C’, D’$$ лежат на одной прямой, поэтому треугольники $$BCD$$ и $$BC’D’$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$CD$$. Кроме того, $$CD=C’D’$$, значит,

$$S_{BCD}=S_{BC’D’}.$$

Тетраэдры $$ABCD$$ и $$ABC’D’$$ имеют одно и то же основание по площади $$S_{BCD}=S_{BC’D’}$$ и одну и ту же высоту, опущенную из точки $$A$$ на плоскость $$BCD$$, так как точки $$C, D, C’, D’$$ лежат на одной прямой, а точка $$B$$ общая. Следовательно,

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{BCD}\cdot h,\qquad V_{ABC’D’}=\frac{1}{3}S_{BC’D’}\cdot h,$$

откуда

$$V_{ABCD}=V_{ABC’D’}.$$

Аналогично, если неподвижен отрезок $$CD$$, а перемещается отрезок $$AB$$, объём тетраэдра также не изменяется.

Значит, при перемещении отрезков $$AB$$ и $$CD$$ по скрещивающимся прямым объём тетраэдра $$ABCD$$ остаётся постоянным.