Упр.783 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причём любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает её не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Расположим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ в прямоугольной системе координат так, чтобы

$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad D(0,1,0),\quad A_1(0,0,1).$$

Тогда три направления, параллельные рёбрам куба, задаются осями $$OX, OY, OZ$$.

Пусть ломаная состоит из отрезков $$P_0P_1,\,P_1P_2,\,\dots,\,P_{n-1}P_n.$$ Обозначим через $$x_i,\ y_i,\ z_i$$ длины проекций i-го отрезка на оси $$OX,\ OY,\ OZ$$ соответственно.

По условию любая плоскость, параллельная грани куба, пересекает ломаную не более чем в одной точке. Значит, проекции всех звеньев ломаной на каждую из осей не могут перекрываться: иначе нашлись бы две точки ломаной с одинаковой координатой по соответствующей оси, а тогда плоскость, перпендикулярная этой оси, пересекла бы ломаную хотя бы в двух точках.

Следовательно, суммы длин проекций всех звеньев на каждую ось не превосходят длины ребра куба:

$$\sum x_i \le 1,\qquad \sum y_i \le 1,\qquad \sum z_i \le 1.$$

Для каждого звена его длина не меньше суммы длин его проекций по координатным осям, а для всей ломаной получаем

$$l \le \sum x_i+\sum y_i+\sum z_i \le 1+1+1=3.$$

Так как ломаная лежит внутри куба и не может совпадать с тремя рёбрами одновременно, то на самом деле

$$l<3\text{ см}.$$

Теперь покажем, что длину, сколь угодно близкую к $$3$$ см, построить можно. Возьмём ломаную из трёх звеньев, проходящую очень близко к трём рёбрам куба, исходящим из одной вершины, например к рёбрам $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$. Тогда длины её звеньев будут сколь угодно близки к $$1$$ см каждое, а значит, длина всей ломаной будет сколь угодно близка к

$$1+1+1=3\text{ см}.$$

Таким образом, длина любой такой ломаной меньше $$3$$ см, и при этом можно построить ломаную, длина которой сколь угодно мало отличается от $$3$$ см.