Упр.783 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: ABCDA_1 B_1 C_1 D_1-куб; a=1 см;
Доказать: длина ломаной меньше 3 см;
Доказательство:
1) Направим оси координат из вершины куба A: OX-вдоль AB, OY-вдоль AD, OZ-вдоль AA_1;
2) Пусть x,y,z-проекции ломаной на оси координат;
3) По условию каждая плоскость,параллельная любой грани куба,пересекает ломаную не более,чем в одной точке,значит у проекций отрезков нет общих точек;
4) По неравенству треугольника,каждый отрезок ломаной будет меньше суммы длин его проекций:
x < 1, y < 1, z < 1, l < x+y+z < 3, l < 3 см; 5) Если вести ломаную достаточно близко к граням куба,тогда длина каждого отрезка будет стремиться к 1 см,а их сумма к 3 см,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Обозначим длину ломаной через $$l$$. Введём систему координат с началом в вершине куба $$A$$ так, чтобы оси были направлены вдоль рёбер $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$.

Пусть $$x$$, $$y$$, $$z$$ — суммы длин проекций всех звеньев ломаной на оси $$OX$$, $$OY$$ и $$OZ$$ соответственно.

Так как любая плоскость, параллельная грани куба, пересекает ломаную не более чем в одной точке, то проекции звеньев ломаной на каждую из осей не могут иметь общих точек. Значит, сумма длин проекций на каждую ось не превосходит длины соответствующего ребра куба:

$$x<1,\qquad y<1,\qquad z<1.$$

Для каждого звена ломаной длина больше длины его проекции на любую ось, а значит, длина всей ломаной меньше суммы длин её проекций на три оси:

$$l<x+y+z.$$

Следовательно,

$$l<1+1+1=3,$$

то есть $$l<3\text{ см}.$$

Осталось показать, что длина ломаной может быть сколь угодно близка к $$3\text{ см}$$. Для этого достаточно расположить её звенья так, чтобы они проходили очень близко к трём рёбрам куба, исходящим из одной вершины. Тогда длины проекций будут сколь угодно близки к $$1\text{ см}$$ каждая, а значит, и длина ломаной будет сколь угодно близка к $$3\text{ см}$$.