Упр.782 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Доказать: из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоуг.параллелепипед;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-грань параллелепипеда;
2) Пусть к данной грани примыкает гранью MKNE наименьший куб; примем,что его сторона равна a;
3) К данному кубу a приставим два других куба b и c, которые прилегаюют к ABCD гранями BPEA и FTDN;
4) Чтобы заполнить кубами промежутки PRKM и RCTF требуются кубы со стороной равной или меньшей,чем сторона куба a,возникло противоречие,следовательно составить параллелепипед из конечного числа таких кубов невозможно,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Предположим, что прямоугольный параллелепипед составлен из конечного числа попарно различных кубов.

Рассмотрим одну из его граней $$ABCD$$. Среди кубов, примыкающих к этой грани, возьмём куб с наименьшим ребром и обозначим его ребро через $$a$$. Пусть этот куб имеет грань $$MKNE$$, лежащую в плоскости грани $$ABCD$$.

Так как кубы попарно различны, то рядом с кубом со стороной $$a$$ должны находиться кубы с другими, большими ребрами. Приставим к нему два куба со сторонами $$b$$ и $$c$$, примыкающие к грани $$ABCD$$ соответственно гранями $$BPEA$$ и $$FTDN$$.

Тогда на грани параллелепипеда останутся незаполненные участки $$PRKM$$ и $$RCTF$$. Чтобы заполнить эти промежутки, потребовались бы кубы со стороной, равной или меньшей, чем $$a$$, потому что размеры этих участков не превосходят ребра наименьшего из уже взятых кубов.

Но это невозможно: куб со стороной $$a$$ был выбран наименьшим среди всех кубов, примыкающих к грани $$ABCD$$. Получаем противоречие.

Следовательно, из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.