Упр.782 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
Предположим, что прямоугольный параллелепипед составлен из конечного числа попарно различных кубов.
Рассмотрим одну из его граней $$ABCD$$. Среди кубов, примыкающих к этой грани, выберем куб с наименьшей стороной и обозначим её через $$a$$. Пусть этот куб имеет грань $$MKNE$$, лежащую в плоскости грани $$ABCD$$.
Тогда к оставшейся части грани $$ABCD$$ можно с двух сторон приставить ещё два куба со сторонами $$b$$ и $$c$$, как показано на рисунке. Они примыкают к грани $$ABCD$$ соответственно гранями $$BPEA$$ и $$FTDN$$.
Но тогда для заполнения промежутков $$PRKM$$ и $$RCTF$$ на грани параллелепипеда потребуются кубы со стороной, не большей чем $$a$$. Действительно, эти промежутки имеют размеры, которые не позволяют заполнить их кубами большего ребра.
Это противоречит выбору куба $$a$$ как наименьшего среди всех использованных кубов: если бы все кубы были попарно различны и их было конечное число, то после выбора наименьшего куба пришлось бы снова использовать кубы с ребром $$a$$ или меньшим, а это невозможно.
Следовательно, из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
