Упр.781 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что пересечение тетраэдров $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$ есть правильный октаэдр.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и тетраэдры $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$.

Их пересечение состоит из восьми точек, лежащих на серединах граней куба. Обозначим эти точки через $$M, N, K, P, L, Q$$ и ещё две симметричные им точки на противоположных гранях куба.

Действительно, отрезки $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ являются диагоналями грани куба, значит их пересечение $$Q$$ — центр квадрата $$A_1B_1D_1C_1$$. Поэтому

$$A_1Q=QC_1,\qquad B_1Q=QD_1.$$

Аналогично для остальных граней получаем, что все вершины фигуры пересечения лежат в центрах граней куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда расстояние между центрами двух соседних граней, например $$M$$ и $$L$$, равно

$$ML=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{a^2}{2}} =\frac{a}{\sqrt2}.$$

Точно так же расстояния между любыми двумя соседними вершинами полученной фигуры одинаковы. Следовательно, многогранник с вершинами в центрах граней куба имеет 8 вершин и равные рёбра, то есть является правильным октаэдром.

Таким образом, пересечение тетраэдров $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$ есть правильный октаэдр.