Упр.781 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Докажите, что пересечение тетраэдров AB_1CD_1 и C_1BA_1D есть правильный октаэдр.

Подробный ответ

Обозначим через $$M, N, K, P, L, Q$$ точки пересечения соответствующих граней тетраэдров $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$. Тогда линия пересечения этих тетраэдров состоит из шести точек $$M, N, K, P, L, Q$$.

Рассмотрим, например, точку $$Q$$. Отрезки $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ являются диагоналями грани куба $$A_1B_1C_1D_1$$, значит, $$Q$$ — точка их пересечения, то есть центр этой квадратной грани. Следовательно, $$Q$$ равноудалена от вершин этой грани, а аналогично и остальные точки пересечения являются серединами соответствующих граней куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда расстояние между серединами двух соседних граней, например $$M$$ и $$L$$, равно

$$ ML=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{a^2}{2}} =\frac{a}{\sqrt{2}}. $$

Аналогично получаем, что расстояния между любыми соседними вершинами фигуры $$MNKPLQ$$ одинаковы. Значит, все её грани — равные квадраты, а сама фигура имеет $$8$$ вершин и является правильным октаэдром.