Упр.78 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 42 изображён параллелепипед $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$, на рёбрах которого отмечены точки $$M$$, $$N$$, $$M_1$$ и $$N_1$$ так, что $$AM=CN=A_1M_1=C_1N_1$$. Докажите, что $$MBNDM_1B_1N_1D_1$$ — параллелепипед.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB\parallel CD$$.
Из условия $$AM=CN$$, поэтому
$$BM=AB-AM=CD-CN=DN.$$
Кроме того, отрезки $$BM$$ и $$DN$$ лежат на параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$, значит $$BM\parallel DN$$. Следовательно, в четырёхугольнике $$MBND$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$MBND$$ — параллелограмм.
Аналогично получаем, что $$M_1B_1N_1D_1$$ — параллелограмм.
Теперь рассмотрим параллелограммы $$MBND$$ и $$M_1B_1N_1D_1$$. У них
$$MB=M_1B_1,\qquad DN=D_1N_1,$$
так как $$MB$$ и $$M_1B_1$$, а также $$DN$$ и $$D_1N_1$$ — соответствующие отрезки между параллельными плоскостями основания и верхнего основания параллелепипеда. Кроме того, углы между этими сторонами равны, поскольку они образованы соответственно параллельными и одинаково направленными прямыми.
Значит, параллелограммы $$MBND$$ и $$M_1B_1N_1D_1$$ равны.
Из равенства $$AM=AM_1$$ следует, что четырёхугольник $$A_1MM_1A$$ — параллелограмм, откуда $$MM_1\parallel AA_1\parallel BB_1$$. Аналогично, из $$CN=C_1N_1$$ получаем, что $$C_1NN_1C$$ — параллелограмм, значит $$NN_1\parallel CC_1\parallel DD_1$$.
Отрезки $$MM_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, $$NN_1$$, $$DD_1$$ параллельны между собой и заключены между одними и теми же параллельными плоскостями, поэтому
$$MM_1=BB_1=CC_1=NN_1=DD_1.$$
Следовательно, четырёхугольники $$MBB_1M_1$$ и $$NDD_1N_1$$ — параллелограммы. Тогда противоположные грани
$$MBM_1B_1,\quad BNDN_1,\quad DNM_1D_1$$
являются параллелограммами, а значит, многогранник $$MBNDM_1B_1N_1D_1$$ — параллелепипед.
