Упр.779 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $$S$$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.
Пусть $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ — основание правильной шестиугольной пирамиды, $$MH$$ — её высота, $$H_1$$ — середина отрезка $$MH$$. Обозначим $$A_1A_2=a$$, $$MK=h$$, тогда площадь боковой грани $$MA_2A_3$$ равна
$$S_{MA_2A_3}=\frac{ah}{2}=S.$$
Плоскость сечения параллельна плоскости боковой грани $$MA_2A_3$$, значит сечение пересекает основание по отрезку, параллельному $$A_2A_3$$, а боковые грани — по отрезкам, параллельным соответствующим рёбрам грани $$MA_2A_3$$.
Рассмотрим треугольник $$KPM$$, где $$K\in A_2A_3$$, $$P\in A_6A_5$$, а прямая $$KP$$ лежит в плоскости сечения. Так как плоскость сечения проходит через середину высоты $$H_1$$ и параллельна боковой грани, то соответствующие отрезки на боковых рёбрах делятся в одинаковом отношении. Отсюда
$$K_1P_1\parallel MK,\qquad K_1P_1=\frac{3}{4}MK=\frac{3h}{4}.$$
Тогда
$$H_1P_1=K_1P_1-H_1K_1=\frac{3h}{4}-\frac{h}{2}=\frac{h}{4},$$
и, следовательно,
$$P_1M=\frac{h}{4}.$$
Теперь найдём длины сторон верхней части сечения. Из подобия соответствующих треугольников получаем
$$\frac{A_6’A_5′}{A_6A_5}=\frac{P_1M}{PM}=\frac{1}{4},$$
значит
$$A_6’A_5’=\frac{a}{4}.$$
Кроме того, так как $$A_1A_4=2a$$, то
$$A_2’A_3’=\frac{a+2a}{2}=\frac{3a}{2},\qquad A_1’A_4’=\frac{2a}{2}=a.$$
Площадь верхней части сечения равна
$$S_1=\frac{\frac{3a}{2}+a}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{5ah}{8}.$$
Площадь нижней части сечения равна
$$S_2=\frac{a+\frac{a}{4}}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{5ah}{32}.$$
Тогда площадь всего сечения
$$S_{\text{сеч}}=S_1+S_2=\frac{5ah}{8}+\frac{5ah}{32}=\frac{25ah}{32}.$$
Так как $$S=\frac{ah}{2}$$, то
$$S_{\text{сеч}}=\frac{25}{16}S.$$
Ответ
$$\frac{25}{16}S$$
