Упр.779 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, а через $$h$$ её высоту. Тогда площадь боковой грани $$MA_2A_3$$ равна

$$S_{MA_2A_3}=\frac{ah}{2}.$$

Плоскость сечения параллельна плоскости боковой грани $$MA_2A_3$$, значит, сечение подобно этой грани. Найдём коэффициент подобия.

Пусть $$H_1$$ — середина высоты $$MH$$. Тогда плоскость сечения проходит через точку, лежащую на середине высоты пирамиды, поэтому все соответствующие линейные размеры в сечении вдвое меньше, чем у исходной боковой грани по направлению высоты.

Рассмотрим, какие отрезки получаются на основании и на боковых рёбрах. Так как сечение параллельно $$MA_2A_3$$, то оно пересекает основание в отрезке, параллельном $$A_2A_3$$, а боковые рёбра — в точках, делящих их в одинаковом отношении. В результате сечение распадается на две равные по способу построения трапеции, площади которых можно найти через подобие.

Для первой части сечения получаем:

$$A_2’A_3’=\frac{a+2a}{2}=\frac{3a}{2}, \qquad A_1’A_4’=\frac{2a}{2}=a, \qquad K_1H_1=\frac{h}{2}.$$

Тогда

$$S_{A_2’A_3’A_4’A_1′}=\frac{\frac{3a}{2}+a}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{5ah}{8}.$$

Для второй части сечения из подобия соответствующих треугольников получаем, что

$$A_6’A_5’=\frac{a}{4}.$$

Следовательно, площадь второй части равна

$$S_{A_1’A_6’A_5’A_4′}=\frac{a+\frac{a}{4}}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{5ah}{32}.$$

Тогда площадь всего сечения:

$$S_{\text{сеч}}=\frac{5ah}{8}+\frac{5ah}{32}=\frac{25ah}{32}.$$

Так как $$S=\frac{ah}{2}$$, то

$$S_{\text{сеч}}=\frac{25}{32}\cdot ah=\frac{25}{16}\cdot \frac{ah}{2}=\frac{25S}{16}.$$