Упр.778 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его пространственной диагонали. Получится правильный шестиугольник. Обозначим его сторону через $$b$$.

Найдём $$b$$. В равнобедренном треугольнике $$ABA_1$$ по теореме косинусов:

$$A_1B^2=AB^2+AA_1^2-2\cdot AB\cdot AA_1\cos 90^\circ$$
$$A_1B^2=a^2+a^2=2a^2.$$

С другой стороны, в проекции соответствующая сторона равна стороне правильного шестиугольника, а угол между проекциями равен $$120^\circ$$, поэтому

$$A_1B^2=b^2+b^2-2b^2\cos 120^\circ=3b^2.$$

Следовательно,

$$3b^2=2a^2,\qquad b=\frac{a\sqrt6}{3}.$$

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен

$$r=b\cos 30^\circ=\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Значит, квадрат со стороной $$a$$ можно вписать в это отверстие, так как его сторона равна диаметру вписанной окружности:

$$2r=2\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=a\sqrt2>a.$$

Следовательно, через такое отверстие можно протащить куб со стороной $$a$$, а значит, существует сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.