Упр.777 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Обозначим ребро куба через $$a$$. Рассмотрим развёртку двух граней куба, содержащих точку $$M$$ и вершину $$D_1$$. Тогда кратчайший путь по поверхности куба соответствует отрезку прямой на развёртке.

Пусть $$K$$ — точка пересечения прямой $$MD_1$$ с ребром $$AD$$, а $$N$$ — точка пересечения этой же прямой с ребром $$DC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMD_1$$. Здесь

$$ AD_1=2a,\qquad AM=\frac{1}{2}a. $$

Тогда

$$ D_1M=\sqrt{AD_1^2+AM^2} =\sqrt{4a^2+\frac{1}{4}a^2} =\sqrt{\frac{17}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{17}}{2}. $$

Так как $$DN$$ — средняя линия в соответствующем треугольнике, то

$$ DN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}a. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$D_1A_1M$$. Имеем

$$ A_1D_1=a,\qquad A_1M=A_1A+AM=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a. $$

Следовательно,

$$ D_1M=\sqrt{A_1D_1^2+A_1M^2} =\sqrt{a^2+\frac{9}{4}a^2} =\sqrt{\frac{13}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{13}}{2}. $$

Кроме того, из подобия соответствующих треугольников получаем

$$ DK=\frac{1}{3}D_1A_1=\frac{1}{3}a. $$

Сравним возможные пути: $$\frac{a\sqrt{13}}{2}<\frac{a\sqrt{17}}{2}$$, значит кратчайший путь проходит через точку $$K$$. Следовательно, паук должен сначала доползти до ребра $$AD$$ в точке $$K$$, находящейся на расстоянии $$\frac{a}{3}$$ от вершины $$D$$, а затем двигаться по прямой к мухе.

Ответ

Паук должен двигаться по кратчайшему пути $$MKD_1$$: сначала пересечь ребро $$AD$$ в точке $$K$$, где $$DK=\frac{a}{3}$$, затем ползти по прямой к вершине $$D_1$$.