Упр.777 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — ребро куба. Развернём две грани куба, содержащие кратчайший путь паука к мухе, в одну плоскость.

Обозначим через $$M$$ середину ребра $$AB$$, где сидит паук, а через $$D_1$$ — вершину, в которой сидит муха. Тогда кратчайший путь на развёртке будет отрезком $$MD_1$$. Чтобы найти, через какое ребро он проходит, рассмотрим две возможные развёртки.

1) Если путь проходит через точку $$N$$ на ребре $$DC$$, то в прямоугольном треугольнике $$AMD_1$$ имеем

$$AD_1=2a,\qquad AM=\frac{1}{2}a.$$

Тогда

$$D_1M=\sqrt{AD_1^2+AM^2} =\sqrt{4a^2+\frac{1}{4}a^2} =\sqrt{\frac{17}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{17}}{2}.$$

Кроме того, $$DN$$ — средняя линия треугольника, значит

$$DN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}a.$$

2) Если путь проходит через точку $$K$$ на ребре $$AD$$, то в прямоугольном треугольнике $$D_1A_1M$$ получаем

$$A_1D_1=a,\qquad A_1M=A_1A+AM=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a.$$

Следовательно,

$$D_1M=\sqrt{A_1D_1^2+A_1M^2} =\sqrt{a^2+\frac{9}{4}a^2} =\sqrt{\frac{13}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{13}}{2}.$$

При этом

$$DK=\frac{1}{3}D_1A_1=\frac{1}{3}a.$$

Так как $$\sqrt{13}<\sqrt{17}$$, то $$\frac{a\sqrt{13}}{2}<\frac{a\sqrt{17}}{2}$$, значит кратчайшим является путь через точку $$K$$.

Следовательно, паук должен двигаться так: сначала ползти по ребру $$AB$$ до точки $$K$$, лежащей на ребре $$AD$$ на расстоянии $$\frac{1}{3}a$$ от вершины $$D$$, а затем двигаться по прямой к мухе.

Ответ: кратчайший путь проходит через точку $$K$$ на ребре $$AD$$, причём $$DK=\frac{1}{3}a$$.