Упр.775 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — ребро куба, $$O$$ — его центр, а $$b$$ — прямая, проходящая через точку $$O$$. Обозначим через $$\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4$$ углы между прямой $$b$$ и радиус-векторами $$OA,\,OB,\,OC,\,OD$$ к четырём вершинам нижнего основания куба.

Тогда расстояния от этих вершин до прямой $$b$$ равны:

$$AA_2=OA\sin\varphi_1,\quad BB_2=OB\sin\varphi_2,\quad CC_2=OC\sin\varphi_3,\quad DD_2=OD\sin\varphi_4.$$

Так как $$O$$ — центр куба, то

$$OA=OB=OC=OD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, сумма квадратов расстояний от всех восьми вершин куба до прямой $$b$$ равна

$$S=2\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=\frac{3a^2}{2}\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i.$$

Осталось показать, что $$\sum\limits_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i$$ не зависит от положения прямой $$b$$.

Пусть $$b$$ пересекает плоскость основания $$ABCD$$ в точке $$A_3$$. Введём координаты в этой плоскости так, что $$A=(0,0)$$, $$B=(a,0)$$, $$D=(0,a)$$, а точка $$A_3=(x,y)$$. Тогда

$$A_3A^2=x^2+y^2,$$
$$A_3B^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$A_3C^2=(a-x)^2+(a-y)^2,$$
$$A_3D^2=x^2+(a-y)^2.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$OA_3A$$:

$$A_3A^2=OA^2+OA_3^2-2\cdot OA\cdot OA_3\cos\varphi_1.$$

Аналогично получаем:

$$2\cdot OA_3\cdot OA\cos\varphi_1=\frac{3a^2}{2}-a(x+y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OB\cos\varphi_2=\frac{a^2}{2}+a(x-y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OC\cos\varphi_3=-\frac{a^2}{2}+a(x+y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OD\cos\varphi_4=\frac{a^2}{2}-a(x-y).$$

Теперь найдём сумму квадратов косинусов:

$$\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i =\frac{a^2}{OA_3^2}.$$

Но из геометрии координатной плоскости

$$OA_3^2=\left(x-\frac a2\right)^2+\left(y-\frac a2\right)^2+\frac{a^2}{4},$$

поэтому

$$\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=\frac{a^2}{a^2\cdot \frac34}=\frac43.$$

Тогда

$$\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=4-\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=4-\frac43=\frac83.$$

Подставляем в формулу для $$S$$:

$$S=\frac{3a^2}{2}\cdot \frac83=4a^2.$$

Итак, сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой и равна $$4a^2$$.

Ответ: $$4a^2$$.