Упр.774 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$.
1) Сечение куба плоскостью $$ACD_1$$ — правильный треугольник, так как его стороны являются диагоналями граней куба и потому равны:
$$AC=CD_1=AD_1=a\sqrt{2}.$$
2) Любое сечение, параллельное грани куба, есть квадрат со стороной $$a$$.
3) Построим плоскость, проходящую через середину $$E$$ ребра $$AB$$ и параллельную плоскости $$ACD_1$$. Она пересечёт ребро $$BC$$ в точке $$F$$. Так как $$EF \parallel AC$$, то по теореме Фалеса $$F$$ — середина $$BC$$, а
$$EF=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Аналогично получаем, что точки пересечения этой плоскости с другими рёбрами куба — середины соответствующих рёбер. Значит, все стороны сечения равны $$\frac{a}{\sqrt{2}}$$, а углы между соседними сторонами равны $$120^\circ$$. Следовательно, сечение — правильный шестиугольник.
4) Правильного пятиугольника быть не может. Если бы сечение было пятиугольником, то одна из его вершин совпадала бы с вершиной куба. Тогда две соседние стороны сечения лежали бы в одной грани куба и образовывали бы в этой вершине угол, равный сумме двух углов, дополняющих друг друга до $$180^\circ$$. Такой угол не может быть равен углу правильного пятиугольника $$108^\circ$$.
5) Правильного многоугольника с числом сторон больше шести быть не может, так как куб имеет только шесть граней, а сечение многогранника не может иметь больше сторон, чем число его граней.
Итак, сечением куба могут быть правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник, но не могут быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
