Упр.773 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Подробный ответ

Пусть прямая $$AB$$ пересекает грани двугранного угла с ребром $$MN$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на ребро $$MN$$.

Тогда $$AA_1 \perp MN$$ и $$BB_1 \perp MN$$, а значит, $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до ребра $$MN$$.

Необходимость

Пусть прямая $$AB$$ образует с гранями двугранного угла равные углы. Тогда углы между прямой $$AB$$ и плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$ равны:

$$\angle ABA_1=\angle BAA_1.$$

Рассмотрим сечения плоскостями, перпендикулярными ребру $$MN$$ и проходящими через точки $$A_1$$ и $$B_1$$. В этих сечениях получаем прямоугольные треугольники, у которых один острый угол равен углу между прямой $$AB$$ и соответствующей гранью двугранного угла.

Из равенства этих углов следует равенство соответствующих прямоугольных треугольников, откуда получаем

$$AA_1=BB_1.$$

Значит, точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от ребра $$MN$$.

Достаточность

Пусть теперь $$AA_1=BB_1$$. Тогда в тех же прямоугольных треугольниках, построенных в сечениях, имеем равные катеты, лежащие напротив углов между прямой $$AB$$ и гранями двугранного угла. Следовательно, эти углы равны:

$$\angle ABA_1=\angle BAA_1.$$

То есть прямая $$AB$$ образует с гранями двугранного угла равные углы.

Итак, прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки её пересечения равноудалены от ребра.