Упр.773 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Подробный ответ

Пусть $$MN=\alpha\cap\beta$$ — ребро двугранного угла. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно.

Тогда $$AA_1\perp \alpha$$ и $$BB_1\perp \beta$$, а значит, так как $$MN\subset \alpha$$ и $$MN\subset \beta$$, имеем

$$AA_1\perp MN,\qquad BB_1\perp MN.$$

Из точек $$A_1$$ и $$B_1$$ опустим перпендикуляры на прямую $$MN$$: $$A_1A_2\perp MN$$ и $$B_1B_2\perp MN$$.

Тогда $$\angle AA_2A_1$$ и $$\angle BB_2B_1$$ — линейные углы двугранного угла между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$, поэтому

$$\angle AA_2A_1=\angle BB_2B_1.$$

Пусть $$\angle ABA_1=\varphi$$ и $$\angle BAB_1=\psi$$ — углы, которые прямая $$AB$$ образует с гранями $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Если $$AA_2=BB_2$$, то из равенства прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1A_2$$ и $$\triangle BB_1B_2$$ получаем

$$AA_1=BB_1.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAB_1$$ равны по гипотенузе и катету, следовательно,

$$\varphi=\psi,$$

то есть прямая $$AB$$ образует с гранями двугранного угла равные углы.

Обратно, если $$\varphi=\psi,$$ то из равенства прямоугольных треугольников $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAB_1$$ следует

$$AA_1=BB_1.$$

Тогда из равенства прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1A_2$$ и $$\triangle BB_1B_2$$ получаем

$$AA_2=BB_2.$$

Значит, точки пересечения прямой $$AB$$ с гранями двугранного угла равноудалены от его ребра.

Итак, прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.