Упр.771 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.

Подробный ответ

Пусть плоскость проходит через ребро $$BC$$ тетраэдра $$OABC$$ и пересекает противоположное ребро $$AO$$ в точке $$P$$. Обозначим через $$S_{ABC}$$ и $$S_{OBC}$$ площади граней $$ABC$$ и $$OBC$$.

Проведём из точек $$A$$ и $$O$$ перпендикуляры к плоскости $$BPC$$: $$AH_1 \perp BPC$$ и $$OH_2 \perp BPC$$. Тогда расстояния от точек $$A$$ и $$O$$ до плоскости $$BPC$$ равны соответственно $$AH_1$$ и $$OH_2$$.

Так как плоскость $$BPC$$ делит двугранный угол при ребре $$BC$$ пополам, то точки $$A$$ и $$O$$ равноудалены от этой плоскости, следовательно,

$$AH_1=OH_2.$$

Рассмотрим объёмы тетраэдров $$ABPC$$ и $$OBPC$$. С одной стороны,

$$ V_{ABPC}=\frac13 S_{BPC}\cdot AH_1,\qquad V_{OBPC}=\frac13 S_{BPC}\cdot OH_2. $$

Отсюда

$$ \frac{V_{ABPC}}{V_{OBPC}}=\frac{AH_1}{OH_2}=1. $$

С другой стороны, если взять за общую высоту расстояние от точек $$A$$ и $$O$$ до прямой $$BC$$, то для тетраэдров с общей гранью $$BPC$$ получаем

$$ \frac{V_{ABPC}}{V_{OBPC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}\cdot \frac{AP}{PO}. $$

Так как отношение объёмов равно $$1$$, то

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}=\frac{AP}{PO}. $$

Что и требовалось доказать.