Упр.771 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.
Пусть плоскость сечения проходит через ребро $$BC$$ и пересекает противоположное ребро $$AO$$ в точке $$P$$. Обозначим через $$S_{ABC}$$ и $$S_{OBC}$$ площади граней $$ABC$$ и $$OBC$$.
Проведём из точек $$A$$ и $$O$$ перпендикуляры к плоскости $$BPC$$: $$AH_1 \perp BPC$$ и $$OH_2 \perp BPC$$. Так как плоскость $$BPC$$ делит двугранный угол при ребре $$BC$$ пополам, то точки $$A$$ и $$O$$ равноудалены от плоскости $$BPC$$, значит
$$AH_1=OH_2.$$
Рассмотрим объёмы тетраэдров $$ABPC$$ и $$OBPC$$. С одной стороны,
$$V_{ABPC}=\frac13 AH_1\cdot S_{BPC},\qquad V_{OBPC}=\frac13 OH_2\cdot S_{BPC}.$$
Следовательно,
$$\frac{V_{ABPC}}{V_{OBPC}}=\frac{AH_1}{OH_2}=1.$$
С другой стороны, если взять за общую основу $$ABC$$ и $$OBC$$, то
$$V_{ABPC}=\frac13 PH_1\cdot S_{ABC},\qquad V_{OBPC}=\frac13 PH_2\cdot S_{OBC},$$
где $$PH_1\perp ABC$$, $$PH_2\perp OBC$$. Поэтому
$$\frac{V_{ABPC}}{V_{OBPC}}=\frac{PH_1\cdot S_{ABC}}{PH_2\cdot S_{OBC}}.$$
Так как $$P$$ лежит на биссекторной плоскости двугранного угла при ребре $$BC$$, то расстояния от точки $$P$$ до граней $$ABC$$ и $$OBC$$ равны, то есть $$PH_1=PH_2$$. Тогда
$$\frac{V_{ABPC}}{V_{OBPC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}.$$
Сравнивая два выражения для одного и того же отношения объёмов, получаем
$$\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}=\frac{AP}{PO}.$$
Что и требовалось доказать.
