Упр.770 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников АВС и O_1AB, где О_1 — проекция точки O на плоскость АВС.

Подробный ответ

Обозначим через $$O_1$$ проекцию точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$OO_1 \perp ABC$$.

Так как все плоские углы тетраэдра при вершине $$O$$ равны $$90^\circ$$, то

$$\angle AOC=\angle AOB=\angle BOC=90^\circ.$$

Из $$AO \perp OC$$ и $$OO_1 \perp ABC$$ следует, что прямая $$AO_1$$ перпендикулярна плоскости $$BCO$$, а значит,

$$BC \perp AO_1.$$

Аналогично получаем:

$$BO_1 \perp AC,\qquad CO_1 \perp AB.$$

Пусть $$H=CO_1 \cap AB$$. Тогда $$\angle CHO$$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$OAB$$.

Так как $$OH \perp AB$$ и $$OO_1 \perp ABC$$, то $$OO_1 \perp HC$$, следовательно, в прямоугольном треугольнике $$CHO$$

$$CH=\frac{OH}{\cos \angle CHO}.$$

Теперь найдём площади треугольников:

$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OH,$$

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH=\frac12 AB\cdot \frac{OH}{\cos \angle CHO},$$

$$S_{ABO_1}=\frac12 AB\cdot O_1H=\frac12 AB\cdot OH\cos \angle CHO.$$

Перемножим последние две формулы:

$$ S_{ABC}\cdot S_{ABO_1} =\left(\frac12 AB\cdot \frac{OH}{\cos \angle CHO}\right)\left(\frac12 AB\cdot OH\cos \angle CHO\right) =\frac14 AB^2\cdot OH^2. $$

С другой стороны,

$$ S_{AOB}^2=\left(\frac12 AB\cdot OH\right)^2=\frac14 AB^2\cdot OH^2. $$

Значит,

$$S_{AOB}^2=S_{ABC}\cdot S_{ABO_1},$$

то есть площадь треугольника $$AOB$$ равна среднему геометрическому площадей треугольников $$ABC$$ и $$ABO_1$$.