Упр.770 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все плоские углы тетраэдра $$OABC$$ при вершине $$O$$ равны $$90^\circ$$. Докажите, что площадь треугольника $$AOB$$ равна среднему геометрическому площадей треугольников $$ABC$$ и $$O_1AB$$, где $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$.

Так как $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$, то $$OO_1 \perp ABC$$.

Из условия $$\angle AOC=90^\circ$$ и $$\angle AOB=90^\circ$$, значит $$AO \perp OC$$ и $$AO \perp OB$$. Следовательно, $$AO \perp (BOC)$$, а значит $$AO \perp BC$$. Аналогично получаем $$BO \perp AC$$ и $$CO \perp AB$$.

По теореме о трёх перпендикулярах из $$CO \perp AB$$ и $$OO_1 \perp ABC$$ следует, что $$CO_1 \perp AB$$. Обозначим $$H=CO_1 \cap AB$$. Тогда $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, а $$O_1H$$ — высота треугольника $$AO_1B$$ к той же стороне $$AB$$.

Рассмотрим угол $$\angle CHO$$. Он является линейным углом между плоскостями $$ABC$$ и $$OAB$$. Так как $$OO_1 \perp ABC$$, то $$OO_1 \perp AB$$, а значит $$OH \perp AB$$.

Теперь найдём площади треугольников:

$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OH,$$
$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH,$$
$$S_{ABO_1}=\frac12 AB\cdot O_1H.$$

Из прямоугольного треугольника $$CHO$$ имеем

$$CH=\frac{OH}{\cos \angle CHO}, \qquad O_1H=OH\cos \angle CHO.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot \frac{OH}{\cos \angle CHO},$$
$$S_{ABO_1}=\frac12 AB\cdot OH\cos \angle CHO.$$

Перемножим эти равенства:

$$S_{ABC}\cdot S_{ABO_1} = \left(\frac12 AB\cdot \frac{OH}{\cos \angle CHO}\right) \left(\frac12 AB\cdot OH\cos \angle CHO\right) = \frac14 AB^2\cdot OH^2.$$

С другой стороны,

$$S_{AOB}^2=\left(\frac12 AB\cdot OH\right)^2=\frac14 AB^2\cdot OH^2.$$

Значит,

$$S_{AOB}^2=S_{ABC}\cdot S_{ABO_1}.$$

Что и требовалось доказать.