Упр.77 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если $$AA_1=4$$, $$BC=5$$, $$BB_1=6$$.

У параллелепипеда все боковые рёбра равны, значит $$BB_1=CC_1=AA_1=DD_1=x.$$

По условию $$\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}, \qquad \frac{BC}{BB_1}=\frac{5}{6}.$$

Пусть $$BB_1=x.$$ Тогда

$$BC=\frac{5}{6}x,$$

а значит

$$AB=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}x=\frac{2}{3}x.$$

Сумма всех рёбер параллелепипеда равна $$120$$ см. У параллелепипеда по четыре ребра каждой из трёх различных длин, поэтому

$$4AB+4BC+4BB_1=120,$$

откуда

$$AB+BC+BB_1=30.$$

Подставим выражения через $$x$$:

$$\frac{2}{3}x+\frac{5}{6}x+x=30.$$

Умножим на $$6$$:

$$4x+5x+6x=180,$$

$$15x=180,$$

$$x=12.$$

Тогда

$$BB_1=12\text{ см},$$

$$BC=\frac{5}{6}\cdot 12=10\text{ см},$$

$$AB=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ см}.$$

Ответ: $$AB=8\text{ см},\ BC=10\text{ см},\ BB_1=12\text{ см}.$$