Упр.769 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Пусть $$DH$$ — высота тетраэдра $$DABC$$, а в грани $$ABC$$ точка $$H$$ — точка пересечения высот. Докажем, что тогда и остальные высоты тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Проведём прямые $$a$$ и $$d$$ так, что $$a \parallel BC$$, $$d \parallel AC$$, причём $$A \in a$$ и $$D \in d$$.
Так как $$DH \perp (ABC)$$, то $$DH \perp AH$$ и $$DH \perp BH$$. Кроме того, по условию $$AH \perp BC$$ и $$BH \perp AC$$.
По теореме о трёх перпендикулярах из $$AH \perp BC$$ и $$DH \perp (ABC)$$ получаем $$DA \perp BC$$. Аналогично из $$BH \perp AC$$ следует $$DB \perp AC$$.
Теперь рассмотрим прямую $$d$$. Поскольку $$d \parallel AC$$ и $$DB \perp AC$$, то $$DB \perp d$$. Так как $$D \in d$$, то прямая $$d$$ лежит в плоскости, проходящей через точку $$D$$ и перпендикулярной $$DB$$. Следовательно, если $$P = AP \cap PD$$ — точка пересечения высот грани $$ADC$$, то $$PD \perp AC$$ и, значит, $$PD \perp DB$$. Отсюда $$PD$$ — высота треугольника $$ADB$$, проведённая из вершины $$D$$.
Аналогично, если $$H$$ — точка пересечения высот грани $$ABC$$, то высота $$DH$$ тетраэдра проходит через эту точку, а по той же схеме для остальных граней получаем, что и другие высоты тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Итак, если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр противоположной грани, то и остальные высоты обладают тем же свойством.
