Упр.768 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В основании пирамиды $$\text{МАВС}$$ лежит треугольник $$\text{АВС}$$, в котором $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=4\ \text{см}$$, $$BC=3\ \text{см}$$. Грань $$\text{МАС}$$ перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высоты $$\text{МН}$$ пирамиды до грани $$\text{МВС}$$ равно $$\frac{3\sqrt{2}}{4}\ \text{см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как $$\angle C=90^\circ,$$ то $$AC\perp BC.$$ Кроме того, $$MAC\perp ABC,$$ значит прямая $$MH$$, перпендикулярная плоскости $$ABC,$$ лежит в плоскости $$MAC$$ и $$MH\perp AC.$$ По теореме о трёх перпендикулярах из точки $$H$$ опустим $$HP\perp AB$$; тогда $$MP\perp AB.$$

Плоскости $$MHC$$ и $$MPH$$ равны по двум углам и общей стороне $$MH$$, поэтому $$CH=PH.$$ Аналогично плоскости $$MCB$$ и $$MPB$$ равны, откуда $$PB=BC=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Так как $$BH$$ — высота к гипотенузе $$AC$$, то треугольники $$ABC$$ и $$CBH$$ подобны, следовательно

$$\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{CB}.$$

Подставим значения:

$$\frac{AH}{5}=\frac{CH}{3},$$

$$AH+CH=AC=4.$$

Отсюда

$$3AH=5CH,$$

$$3(4-CH)=5CH,$$

$$12=8CH,$$

$$CH=\frac{3}{2},\qquad AH=\frac{5}{2}.$$

Найдём $$MH$$ и $$MC.$$ В прямоугольном треугольнике $$MCH$$:

$$MC^2=MH^2+CH^2=MH^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2.$$

Объём пирамиды $$MBC$$ можно выразить двумя способами:

$$V_{MBC}=\frac13\cdot S_{MBC}\cdot p(MH,MBC).$$

Так как $$p(MH,MBC)=\frac{3\sqrt2}{4},$$ а

$$S_{MBC}=\frac12\cdot MC\cdot BC=\frac12\cdot MC\cdot 3=\frac{3}{2}MC,$$

то

$$V_{MBC}=\frac13\cdot \frac{3}{2}MC\cdot \frac{3\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{8}MC.$$

С другой стороны, если взять за основание треугольник $$CBH,$$ то

$$S_{CBH}=\frac12\cdot CH\cdot BC=\frac12\cdot \frac32\cdot 3=\frac94,$$

и потому

$$V_{MBC}=\frac13\cdot MH\cdot S_{CBH}=\frac13\cdot MH\cdot \frac94=\frac34MH.$$

Приравниваем:

$$\frac{3\sqrt2}{8}MC=\frac34MH,$$

$$\sqrt2\,MC=2MH.$$

Теперь из $$MC^2=MH^2+\frac94$$ и $$MH=\frac{\sqrt2}{2}MC$$ получаем

$$MC^2=\frac12MC^2+\frac94,$$

$$MC^2=\frac92,$$

$$MC=\frac{3\sqrt2}{2},\qquad MH=\frac32.$$

Найдём площади боковых граней:

$$S_{MBC}=\frac12\cdot MC\cdot BC=\frac12\cdot \frac{3\sqrt2}{2}\cdot 3=\frac{9\sqrt2}{4},$$

$$S_{MAB}=\frac12\cdot AB\cdot MP=\frac12\cdot 5\cdot \frac{3\sqrt2}{2}=\frac{15\sqrt2}{4},$$

$$S_{MAC}=\frac12\cdot AC\cdot MH=\frac12\cdot 4\cdot \frac32=3.$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=S_{MAB}+S_{MBC}+S_{MAC}=\frac{15\sqrt2}{4}+\frac{9\sqrt2}{4}+3=6\sqrt2+3=3(2\sqrt2+1).$$

Ответ: $$3(2\sqrt2+1)\text{ см}^2.$$