Упр.766 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде $$DABC$$ высота $$DO$$ равна $$3\text{ см}$$, а боковое ребро $$DA$$ равно $$5\text{ см}$$. Найдите:
а) площадь полной поверхности пирамиды;
б) объём пирамиды;
в) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
д) скалярное произведение векторов $$\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right)$$ и $$\overrightarrow{MA}$$, где $$M$$ — середина ребра $$BC$$;
е) радиус шара, вписанного в пирамиду.
Пусть $$O$$ — основание высоты пирамиды, $$H$$ — основание высоты $$DH$$ в грани $$DAB$$, $$M$$ — середина ребра $$BC$$.
а) Площадь полной поверхности
В прямоугольном треугольнике $$AOD$$:
$$AO=\sqrt{AD^2-DO^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$
Так как пирамида правильная, треугольник $$ABC$$ равносторонний, а $$AO$$ — его радиус описанной окружности. Тогда
$$AO=\frac{AB}{\sqrt3},\qquad AB=AO\sqrt3=4\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 60^\circ =\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 4\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2} =12\sqrt3\text{ см}^2.$$
Найдём площадь боковой грани $$DAB$$. В равнобедренном треугольнике $$DAB$$ высота $$DH$$ делит основание пополам, поэтому
$$AH=\frac{AB}{2}=2\sqrt3\text{ см}.$$
Тогда
$$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13}\text{ см},$$
и
$$S_{DAB}=\frac12\cdot AB\cdot DH=\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot \sqrt{13}=2\sqrt{39}\text{ см}^2.$$
Все боковые грани равны, значит
$$S_{\text{бок}}=3S_{DAB}=6\sqrt{39}\text{ см}^2.$$
Следовательно, полная поверхность равна
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{ABC}=6\sqrt{39}+12\sqrt3 =6\sqrt3(\sqrt{13}+2)\text{ см}^2.$$
б) Объём пирамиды
$$V=\frac13\cdot DO\cdot S_{ABC} =\frac13\cdot 3\cdot 12\sqrt3 =12\sqrt3\text{ см}^3.$$
в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания
Искомый угол — это $$\angle DAO$$. В прямоугольном треугольнике $$DAO$$:
$$\sin \angle DAO=\frac{DO}{AD}=\frac35.$$
Значит,
$$\angle DAO=\arcsin\frac35.$$
г) Угол наклона боковой грани к плоскости основания
Искомый двугранный угол равен углу между прямыми $$DH$$ и $$OH$$, то есть $$\angle DHO$$.
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{16-12}=2\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DHO$$:
$$\tan \angle DHO=\frac{DO}{OH}=\frac32.$$
Следовательно,
$$\angle DHO=\arctan\frac32.$$
д) Скалярное произведение $$\frac12(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})\overrightarrow{MA}$$
Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то
$$\frac12(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{DM}.$$
Значит, требуется найти $$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{MA}$$.
В равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, поэтому $$AM$$ — медиана, а значит и высота. Тогда
$$AM=\frac{\sqrt3}{2}\,AB=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 4\sqrt3=6\text{ см}.$$
Кроме того, $$O$$ лежит на медиане $$AM$$, и
$$OM=AM-AO=6-4=2\text{ см}.$$
Точки $$D,O,M$$ лежат в одной плоскости, причём $$DO\perp ABC$$, значит $$DO\perp OM$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$DOM$$:
$$DM=\sqrt{DO^2+OM^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$$
Угол между векторами $$\overrightarrow{DM}$$ и $$\overrightarrow{MA}$$ равен $$\angle DMA$$. Так как $$M,O,A$$ лежат на одной прямой, то
$$\cos \angle DMA=\frac{OM}{DM}=\frac{2}{\sqrt{13}}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{MA} =DM\cdot MA\cdot \cos \angle DMA =\sqrt{13}\cdot 6\cdot \frac{2}{\sqrt{13}} =12.$$
е) Радиус вписанного шара
Для пирамиды
$$V=\frac13 S_{\text{полн}}\,r,$$
где $$r$$ — радиус вписанного шара. Тогда
$$r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}} =\frac{3\cdot 12\sqrt3}{6\sqrt3(\sqrt{13}+2)} =\frac{6}{\sqrt{13}+2}\text{ см}.$$
Ответ: а) $$6\sqrt3(\sqrt{13}+2)\text{ см}^2$$; б) $$12\sqrt3\text{ см}^3$$; в) $$\arcsin\frac35$$; г) $$\arctan\frac32$$; д) $$12$$; е) $$\frac{6}{\sqrt{13}+2}\text{ см}$$.
