Упр.765 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырёхугольной пирамиде $$MABCD$$ сторона $$AB$$ основания равна $$6\sqrt{2}\text{ см}$$, а боковое ребро $$MA$$ равно $$12\text{ см}$$. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объём пирамиды; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) угол между боковым ребром и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов $$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AM}$$; е) площадь сферы, описанной около пирамиды.
Пусть $$H$$ — центр квадрата $$ABCD$$, а $$MH$$ — высота пирамиды.
а) Площадь боковой поверхности
Так как пирамида правильная, все боковые грани равны, значит
$$S_{\text{бок}}=4S_{MAB}.$$
В прямоугольном треугольнике $$MAH$$:
$$AH=\frac{AC}{2}, \qquad AC=AB\sqrt2=6\sqrt2\cdot\sqrt2=12,$$
следовательно,
$$AH=6.$$
Тогда
$$MH=\sqrt{MA^2-AH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt3.$$
Площадь одной боковой грани:
$$S_{MAB}=\frac12\cdot AB\cdot MH=\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot 6\sqrt3=18\sqrt6.$$
Значит,
$$S_{\text{бок}}=4\cdot 18\sqrt6=72\sqrt6\ \text{см}^2.$$
б) Объём пирамиды
Площадь основания:
$$S_{ABCD}=(6\sqrt2)^2=72.$$
Тогда
$$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot MH=\frac13\cdot 72\cdot 6\sqrt3=144\sqrt3\ \text{см}^3.$$
в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания
Рассмотрим двугранный угол при ребре $$AB$$. Его линейный угол — это угол между прямыми $$MH_1$$ и $$H_1H$$, где $$H_1$$ — основание перпендикуляра из $$H$$ на $$AB$$. В квадрате $$HH_1=\frac{AB}{2}=3\sqrt2.$$
В прямоугольном треугольнике $$MHH_1$$:
$$\tan\alpha=\frac{MH}{HH_1}=\frac{6\sqrt3}{3\sqrt2}=\sqrt6.$$
Следовательно,
$$\alpha=\arctan\sqrt6.$$
г) Угол между боковым ребром и плоскостью основания
Искомый угол равен $$\angle MAH$$. В прямоугольном треугольнике $$MAH$$:
$$\tan\angle MAH=\frac{MH}{AH}=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3,$$
откуда
$$\angle MAH=60^\circ.$$
д) Скалярное произведение $$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\overrightarrow{AM}$$
Так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC},$$ то
$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AM}.$$
Угол между $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AM}$$ равен $$\angle CAM=60^\circ$$, поэтому
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AM}=AC\cdot AM\cdot\cos 60^\circ=12\cdot 12\cdot \frac12=72.$$
е) Площадь сферы, описанной около пирамиды
Пусть $$O$$ — центр описанной сферы. Он лежит на высоте $$MH$$, а значит $$MO=R$$, где $$R$$ — радиус сферы.
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$AO^2=AH^2+OH^2.$$
Так как $$OH=MH-MO=6\sqrt3-R,$$ получаем
$$R^2=6^2+(6\sqrt3-R)^2.$$
Тогда
$$R^2=36+108-12\sqrt3\,R+R^2,$$
откуда
$$12\sqrt3\,R=144,\qquad R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$$
Площадь сферы:
$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot 48=192\pi\ \text{см}^2.$$
Ответ
$$72\sqrt6\ \text{см}^2;\ 144\sqrt3\ \text{см}^3;\ \arctan\sqrt6;\ 60^\circ;\ 72;\ 192\pi\ \text{см}^2.$$
