Упр.764 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ сторона основания равна $$6\ \text{см}$$, а боковое ребро равно $$3\ \text{см}$$.
а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $$ABC_1$$.
б) Докажите, что прямая $$A_1B_1$$ параллельна плоскости $$AC_1B$$.
в) Найдите угол, который составляет прямая $$B_1C$$ с плоскостью $$ABC$$.
г) Найдите угол между плоскостями $$AB_1C$$ и $$ABC$$.
д) Найдите длину вектора $$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}$$.
е) Найдите объём призмы.
а) Рассмотрим треугольник $$AA_1C_1$$. Он прямоугольный, так как $$AA_1 \perp (ABC)$$, а значит $$AA_1 \perp A_1C_1$$.
Тогда
$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+A_1C_1^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.$$
В треугольнике $$ABC_1$$ опустим высоту $$C_1H \perp AB$$. Тогда
$$AH=\frac{AB}{2}=3,$$
так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник.
По теореме Пифагора:
$$C_1H=\sqrt{AC_1^2-AH^2}=\sqrt{45-9}=\sqrt{36}=6.$$
Следовательно,
$$S_{ABC_1}=\frac12\cdot AB\cdot C_1H=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\ \text{см}^2.$$
б) В четырёхугольнике $$ABB_1A_1$$ имеем $$A_1B_1 \parallel AB$$. Поскольку прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$ABC_1$$, то прямая $$A_1B_1$$ параллельна плоскости $$ABC_1$$, а значит и плоскости $$AC_1B$$.
в) Прямая $$B_1C$$ лежит в плоскости $$BCB_1C_1$$, а её проекция на плоскость $$ABC$$ — это прямая $$BC$$. Поэтому искомый угол равен $$\angle B_1CB$$.
В прямоугольном треугольнике $$BCB_1$$:
$$BB_1=3,\qquad BC=6,$$
откуда
$$\tg \angle B_1CB=\frac{BB_1}{BC}=\frac{3}{6}=\frac12.$$
Значит,
$$\angle(B_1C,(ABC))=\arctg \frac12.$$
г) Так как $$AB_1=BC_1$$ и $$AB=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равносторонний, а значит $$H$$ — середина $$AC$$. Проведём $$BH \perp AC$$ и $$B_1H \perp AC$$. Тогда двугранный угол между плоскостями $$AB_1C$$ и $$ABC$$ равен $$\angle BHB_1$$.
В прямоугольном треугольнике $$BHC$$:
$$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$
В прямоугольном треугольнике $$BHB_1$$:
$$\tg \angle BHB_1=\frac{BB_1}{BH}=\frac{3}{3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$
Следовательно,
$$\angle(AB_1C,(ABC))=\arctg \frac1{\sqrt3}=30^\circ.$$
д) Упростим векторное выражение:
$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}.$$
Так как $$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{A_1A}=-\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{C_1C}=-\overrightarrow{BB_1}$$, то
$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{BC}.$$
Следовательно, длина этого вектора равна
$$|\overrightarrow{BC}|=6\ \text{см}.$$
е) Площадь основания призмы:
$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 6^2=9\sqrt3\ \text{см}^2.$$
Объём призмы:
$$V=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt3\cdot 3=27\sqrt3\ \text{см}^3.$$
Ответ: а) $$18\ \text{см}^2$$; б) $$A_1B_1 \parallel AC_1B$$; в) $$\arctg \frac12$$; г) $$30^\circ$$; д) $$6\ \text{см}$$; е) $$27\sqrt3\ \text{см}^3$$.
