Упр.764 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABC_1.
б) Докажите, что прямая A_1B_1 параллельна плоскости AC_1B.
в) Найдите угол, который составляет прямая B_1C с плоскостью АВС.
г) Найдите угол между плоскостями AB_1C и ABC.
д) Найдите длину вектора BB_1-BC-2A_1A-C_1C.
е) Найдите объём призмы.

Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$, где $$AB=BC=CA=6$$ см, $$AA_1=BB_1=CC_1=3$$ см.

а) Найдём площадь сечения плоскостью $$ABC_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1$$:

$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+A_1C_1^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$

Пусть $$C_1H\perp AB$$, тогда в прямоугольном треугольнике $$AC_1H$$:

$$AH=\frac{AB}{2}=3,$$

$$C_1H=\sqrt{AC_1^2-AH^2}=\sqrt{45-9}=6.$$

Тогда

$$S_{ABC_1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot C_1H=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18\ \text{см}^2.$$

б) Докажем, что $$A_1B_1 \parallel AC_1B$$.

Так как призма правильная, то $$A_1B_1 \parallel AB$$. Кроме того, $$AB \subset (ABC_1)$$. Следовательно, прямая $$A_1B_1$$ параллельна плоскости $$AC_1B$$, что и требовалось доказать.

в) Найдём угол между прямой $$B_1C$$ и плоскостью $$ABC$$.

Проекция прямой $$B_1C$$ на плоскость $$ABC$$ — это отрезок $$BC$$, поэтому искомый угол равен $$\angle B_1CB$$.

В прямоугольном треугольнике $$BCB_1$$:

$$\tan \angle B_1CB=\frac{BB_1}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\angle(B_1C,(ABC))=\arctg\frac{1}{2}.$$

г) Найдём угол между плоскостями $$AB_1C$$ и $$ABC$$.

Пусть $$H$$ — середина отрезка $$AC$$. Тогда $$BH\perp AC$$, так как $$\triangle ABC$$ равносторонний.

Поскольку $$AB_1=CB_1$$, треугольник $$AB_1C$$ равнобедренный, а значит, высота $$B_1H$$ к основанию $$AC$$ является также медианой. Следовательно, $$B_1H\perp AC$$.

Искомый двугранный угол равен углу между прямыми $$BH$$ и $$B_1H$$.

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$:

$$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BB_1H$$:

$$\tan \angle BHB_1=\frac{BB_1}{BH}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Значит,

$$\angle(AB_1C,(ABC))=\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

д) Найдём длину вектора $$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}$$.

Так как $$\overrightarrow{A_1A}=-\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{C_1C}=-\overrightarrow{CC_1}$$, а в правильной призме $$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$$, то

$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C} =\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Но $$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$$, значит

$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BB_1} =4\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}.$$

Удобнее заметить, что векторная сумма сводится к вектору, равному $$-\overrightarrow{BC}$$, поэтому его длина равна

$$|\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}|=BC=6\ \text{см}.$$

е) Найдём объём призмы.

Площадь основания — равностороннего треугольника со стороной $$6$$:

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2=9\sqrt{3}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt{3}\cdot 3=27\sqrt{3}\ \text{см}^3.$$

Ответ

а) $$18\ \text{см}^2$$; б) $$A_1B_1 \parallel AC_1B$$; в) $$\arctg\frac{1}{2}$$; г) $$\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}$$; д) $$6\ \text{см}$$; е) $$27\sqrt{3}\ \text{см}^3$$.