Упр.763 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$p$$:

а) плоскость, не параллельная вектору $$p$$ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость;

б) плоскость, параллельная вектору $$p$$ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

а) Возьмём на плоскости две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$.

При параллельном переносе прямая $$a$$ перейдёт в прямую $$a_1$$, параллельную $$a$$, а прямая $$b$$ — в прямую $$b_1$$, параллельную $$b$$.

Так как $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то и прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются. Через пересекающиеся прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ проходит плоскость.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит, образ данной плоскости — плоскость, параллельная ей.

б) Проведём на плоскости прямые $$a$$ и $$b$$ так, что $$a \parallel \vec p$$ и $$b \parallel \vec p$$.

Известно, что прямая, параллельная вектору $$\vec p$$ или содержащая его, при параллельном переносе отображается на себя. Следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ переходят сами в себя.

Через две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ проходит единственная плоскость, и она при данном переносе отображается на себя.

Если плоскость содержит вектор $$\vec p$$ или параллельна ему, то её образ совпадает с самой плоскостью.