Упр.762 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ плоскость $$\beta$$ отображается на плоскость $$\beta_1$$. Докажите, что если плоскость $$\beta$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$, то и плоскость $$\beta_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$.

Рассмотрим треугольник $$B_1KB.$$ При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ точка $$B$$ переходит в точку $$B_1$$, поэтому $$B_1K=BK$$.

Следовательно, в треугольнике $$B_1KB$$ отрезок $$KO$$, проведённый к середине основания $$B_1B$$, является одновременно медианой, высотой и биссектрисой. Значит, треугольники $$B_1OK$$ и $$BOK$$ прямоугольные, а также

$$\angle BOK=\varphi.$$

Нужно доказать, что $$\angle B_1OK=\varphi.$$

В прямоугольных треугольниках $$BOK$$ и $$B_1OK$$ имеем:

$$\sin \angle BOK=\frac{OK}{BK},$$

$$\sin \angle B_1OK=\frac{OK}{B_1K}.$$

Так как $$BK=B_1K$$, то

$$\sin \angle BOK=\sin \angle B_1OK.$$

Оба угла острые, значит, они равны:

$$\angle B_1OK=\angle BOK=\varphi.$$

Итак, плоскость $$P_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ тот же угол $$\varphi$$, что и плоскость $$P$$.