Упр.761 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: При движении прямая а отображается на прямую at, а плоскость а — на плоскость Oc1. Докажите, что: а) если а || а, то at || Ot1; б) если а 1 а, то O1 Z Ot1.

Подробный ответ

Рассмотрим движение, при котором прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, а плоскость $$\alpha$$ — в плоскость $$\alpha_1$$.

а) Пусть $$a \parallel \alpha$$. Тогда все точки прямой $$a$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha$$. При движении расстояния сохраняются, значит, все точки прямой $$a_1$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha_1$$.

Следовательно, прямая $$a_1$$ параллельна плоскости $$\alpha_1$$.

б) Пусть $$a \perp \alpha$$. Возьмём на прямой $$a$$ точки $$A, B, C$$, а в плоскости $$\alpha$$ — их образы $$A_1, B_1, C_1$$. Обозначим через $$M$$ проекцию точки $$A$$ на плоскость $$\alpha$$.

Тогда треугольники $$AMB$$ и $$AMC$$ прямоугольные, поэтому

$$ AB^2=AM^2+BM^2, \qquad AC^2=AM^2+CM^2. $$

При движении сохраняются расстояния, значит,

$$ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad AM=A_1M_1, $$

где $$M_1$$ — образ точки $$M$$.

Отсюда

$$ A_1B_1^2=A_1M_1^2+B_1M_1^2,\qquad A_1C_1^2=A_1M_1^2+C_1M_1^2. $$

Значит, треугольники $$A_1M_1B_1$$ и $$A_1M_1C_1$$ прямоугольные. Следовательно, прямая $$a_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$\alpha_1$$, а значит,

$$ a_1 \perp \alpha_1. $$