Упр.761 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

При движении прямая $$a$$ отображается на прямую $$a_1$$, а плоскость $$\alpha$$ — на плоскость $$\alpha_1$$. Докажите, что:
а) если $$a \parallel \alpha$$, то $$a_1 \parallel \alpha_1$$;
б) если $$a \perp \alpha$$, то $$a_1 \perp \alpha_1$$.

Подробный ответ

а) Пусть при движении прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, а плоскость $$\alpha$$ — в плоскость $$\alpha_1$$. Возьмём на прямой $$a$$ две точки $$A$$ и $$B$$, а на прямой $$a_1$$ — их образы $$A_1$$ и $$B_1$$.

Так как движение сохраняет расстояния, то

$$AB=A_1B_1.$$

Если $$a \parallel \alpha$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, параллельной плоскости $$\alpha$$. При движении сохраняются параллельность и расстояния, значит образ прямой $$a_1$$ также не пересекает плоскость $$\alpha_1$$. Следовательно, $$a_1 \parallel \alpha_1$$.

б) Пусть $$a \perp \alpha$$. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$, проходящие через точку $$O$$, и обозначим их образы через $$b_1$$ и $$c_1$$, а точку $$O$$ — через $$O_1$$.

Выберем на прямых $$b$$ и $$c$$ точки $$B$$ и $$C$$. Тогда треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ прямоугольные, поэтому по теореме Пифагора

$$AB^2=AO^2+OB^2, \qquad AC^2=AO^2+OC^2.$$

После движения получаем

$$A_1B_1^2=A_1O_1^2+O_1B_1^2, \qquad A_1C_1^2=A_1O_1^2+O_1C_1^2.$$

Значит, $$A_1O_1 \perp O_1B_1$$ и $$A_1O_1 \perp O_1C_1$$. Так как прямые $$O_1B_1$$ и $$O_1C_1$$ пересекаются и лежат в плоскости $$\alpha_1$$, то прямая $$a_1$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha_1$$.