Упр.760 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$CA$$ и $$DB$$ перпендикулярны к ребру двугранного угла $$CABD$$, равного $$120^\circ$$. Известно, что $$AB=m$$, $$CA=n$$, $$BD=p$$. Найдите $$CD$$.

Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную ребру $$AB$$, и обозначим точку пересечения с плоскостью, содержащей $$CA$$, через $$E$$. Тогда четырёхугольник $$AEDB$$ — прямоугольник, поэтому

$$AE=BD=p,\qquad ED=AB=m.$$

Рассмотрим треугольник $$CAE$$. Угол между прямыми $$CA$$ и $$AE$$ равен двугранному углу, то есть

$$\angle CAE=120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$CE^2=CA^2+AE^2-2\cdot CA\cdot AE\cos120^\circ$$

$$CE^2=n^2+p^2-2np\cdot\left(-\frac12\right)=n^2+p^2+np.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CED$$. По теореме Пифагора:

$$CD^2=CE^2+ED^2=(n^2+p^2+np)+m^2.$$

Следовательно,

$$CD=\sqrt{m^2+n^2+p^2+np}.$$