Упр.760 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки CA и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что AB = m, CA = n, BD = р. Найдите CD.

Подробный ответ

Проведём через точку $D$ прямую $DE$, параллельную ребру $AB$, а через точку $A$ — прямую $AE$, параллельную $BD$. Тогда четырёхугольник $AEDB$ — прямоугольник, поэтому

$$AE=BD=p,\qquad ED=AB=m.$$

Рассмотрим треугольник $CAE$. Угол между прямыми $CA$ и $AE$ равен углу двугранного угла, то есть

$$\angle CAE=120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ CE^2=CA^2+AE^2-2\cdot CA\cdot AE\cos120^\circ $$

$$ CE^2=n^2+p^2-2np\cdot\left(-\frac12\right)=n^2+p^2+np. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$. По теореме Пифагора:

$$ CD^2=CE^2+ED^2=(n^2+p^2+np)+m^2. $$

Следовательно,

$$ CD=\sqrt{m^2+n^2+p^2+np}. $$