Упр.759 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан двугранный угол $$CABD$$, равный $$\varphi$$ ($$\varphi<90^\circ$$). Известно, что $$AC\perp AB$$ и $$\angle DAB=9$$. Найдите $$\cos\angle CAD$$.

Подробный ответ

Обозначим $$\angle DAB=\theta$$, а искомый угол $$\angle CAD=\varphi$$.

Так как $$AC\perp AB$$ и $$OD\parallel AB$$, то $$AC\perp OD$$. Кроме того, из $$OA\perp AB$$ и $$OD\parallel AB$$ следует, что $$OA\perp OD$$. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах $$CO\perp OD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOD$$. Тогда

$$AO=a\sin\theta,\qquad OD=a\cos\theta.$$

В треугольнике $$OAC$$ по теореме косинусов:

$$CO^2=OA^2+AC^2-2\cdot OA\cdot AC\cos\varphi$$

Так как $$AC=AO=a\sin\theta$$, получаем

$$CO^2=a^2\sin^2\theta+a^2\sin^2\theta-2a^2\sin^2\theta\cos\varphi =2a^2\sin^2\theta(1-\cos\varphi).$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$:

$$CD^2=CO^2+OD^2 =2a^2\sin^2\theta(1-\cos\varphi)+a^2\cos^2\theta.$$

С другой стороны, в треугольнике $$CAD$$ по теореме косинусов:

$$CD^2=CA^2+AD^2-2\cdot CA\cdot AD\cos\angle CAD.$$

Подставим $$CA=a\sin\theta$$ и $$AD=a$$:

$$CD^2=a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos\angle CAD.$$