Упр.758 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Лучи OA, OB и OC расположены так, что ZBOC = ZBOA = Ab0, ZAOC = 60°. Прямая OH перпендикулярна к плоскости AOB. Найдите угол между прямыми OH и ОС.

Подробный ответ

Обозначим $$OC=a.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$COA$$ и $$COB$$:

$$OA=OC\cos 60^\circ=\frac{a}{2},$$

$$OB=OC\cos 45^\circ=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 45^\circ $$

$$ AB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ AB^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}, $$
значит,
$$AB=\frac{a}{2}.$$

Следовательно, $$OA=AB$$, а значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Так как $$\angle AOB=45^\circ$$, то

$$\angle ABO=\angle OAB=\frac{180^\circ-45^\circ}{2}=67{,}5^\circ.$$

Прямая $$OH$$ перпендикулярна плоскости $$AOB$$, поэтому угол между прямыми $$OH$$ и $$OC$$ равен углу между прямой $$OC$$ и её ортогональной проекцией на плоскость $$AOB$$. Эта проекция — прямая $$OB$$. Значит, искомый угол равен $$\angle COB$$.

Но по условию $$\angle COB=45^\circ$$.