Упр.758 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ расположены так, что $$\angle BOC=\angle BOA=Ab0$$, $$\angle AOC=60^\circ$$. Прямая $$OH$$ перпендикулярна к плоскости $$AOB$$. Найдите угол между прямыми $$OH$$ и $$OC$$.
Обозначим $$OC=a.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$COA$$ и $$COB$$.
Так как $$\angle AOC=60^\circ,$$ то
$$OA=OC\cos 60^\circ=\frac{a}{2}.$$
Так как $$\angle BOC=45^\circ,$$ то
$$OB=OC\cos 45^\circ=\frac{a}{\sqrt2}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:
$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 45^\circ$$
$$AB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{2} =\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2} =\frac{a^2}{4}.$$
Следовательно, $$AB=\frac{a}{2}=OA.$$ Значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и при $$\angle AOB=45^\circ$$ получаем
$$\angle OAB=\angle ABO=67{,}5^\circ.$$
Так как $$OH\perp (AOB),$$ то прямая $$OH$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$AOB,$$ проходящей через точку $$O.$$ Поэтому угол между прямыми $$OH$$ и $$OC$$ равен углу между $$OC$$ и её проекцией на плоскость $$AOB.$$
Из построения следует, что эта проекция образует с $$OC$$ угол $$45^\circ.$$ Значит, искомый угол равен
$$\angle(HO,OC)=45^\circ.$$
Ответ: $$45^\circ$$.
