Упр.757 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Лучи $OA$, $OB$, $OC$ и $OM$ расположены так, что $$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ,$$ $$\angle AOM=\varphi_1,\quad \angle BOM=\varphi_2,\quad \angle COM=\varphi_3.$$ Докажите, что $$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1.$$

Подробный ответ

Обозначим через $$\varphi_1=\angle AOM,\quad \varphi_2=\angle BOM,\quad \varphi_3=\angle COM.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{OM}$$ в прямоугольной системе координат, где оси направлены вдоль взаимно перпендикулярных лучей $$OA,\ OB,\ OC.$$ Тогда проекции вектора $$\overrightarrow{OM}$$ на эти оси равны соответственно

$$|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_1,\quad |\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_2,\quad |\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_3.$$

По формуле для длины вектора в координатах имеем

$$|\overrightarrow{OM}|^2=\bigl(|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_1\bigr)^2+\bigl(|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_2\bigr)^2+\bigl(|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_3\bigr)^2.$$

Вынесем $$|\overrightarrow{OM}|^2$$ за скобки:

$$|\overrightarrow{OM}|^2=|\overrightarrow{OM}|^2\bigl(\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3\bigr).$$

Так как $$|\overrightarrow{OM}|\neq 0,$$ делим обе части на $$|\overrightarrow{OM}|^2$$ и получаем

$$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1.$$