Упр.756 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B кубе ABCDA1B1C1D1 точка M лежит на ребре BB1, причем BM : MB1 = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN : ND = = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) DD1C1C; б) A1B1C1D1.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$D$$, оси направим вдоль рёбер куба $$DA$$, $$DC$$ и $$DD_1$$. Пусть ребро куба равно $$a$$.

Тогда координаты вершин и точек будут такими:

$$D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad C(0,a,0),\quad D_1(0,0,a),$$

$$B(a,a,0),\quad B_1(a,a,a),\quad A_1(a,0,a),\quad C_1(0,a,a).$$

Точка $$M$$ делит ребро $$BB_1$$ в отношении $$BM:MB_1=3:2$$, значит

$$M\left(a,a,\frac{3a}{5}\right).$$

Точка $$N$$ делит ребро $$AD$$ в отношении $$AN:ND=2:3$$, поэтому

$$N\left(\frac{3a}{5},0,0\right).$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{NM}= \left(a-\frac{3a}{5},\, a-0,\, \frac{3a}{5}-0\right)=\left(\frac{2a}{5},\, a,\, \frac{3a}{5}\right).$$

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.

а) Плоскость $$DD_1C_1C$$

Эта плоскость задаётся уравнением $$x=0$$, её нормаль можно взять в виде

$$\vec n_1=(1,0,0).$$

Тогда

$$ \sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{|\overrightarrow{NM}\cdot \vec n_1|}{|\overrightarrow{NM}|\cdot |\vec n_1|} =\frac{\frac{2a}{5}}{\sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+a^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2}}. $$

Вычислим:

$$ \sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+a^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2} =a\sqrt{\frac{4}{25}+1+\frac{9}{25}} =a\sqrt{\frac{38}{25}} =\frac{a\sqrt{38}}{5}. $$

Следовательно,

$$ \sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{\frac{2a}{5}}{\frac{a\sqrt{38}}{5}}=\frac{2}{\sqrt{38}}. $$

б) Плоскость $$A_1B_1C_1D_1$$

Эта плоскость задаётся уравнением $$z=a$$, её нормаль можно взять в виде

$$\vec n_2=(0,0,1).$$

Тогда

$$ \sin\angle(MN,A_1B_1C_1D_1)=\frac{|\overrightarrow{NM}\cdot \vec n_2|}{|\overrightarrow{NM}|\cdot |\vec n_2|} =\frac{\frac{3a}{5}}{\frac{a\sqrt{38}}{5}} =\frac{3}{\sqrt{38}}. $$