Упр.756 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ лежит на ребре $$BB_1$$, причём $$BM:MB_1=3:2$$, а точка $$N$$ лежит на ребре $$AD$$, причём $$AN:ND=2:3$$. Вычислите синус угла между прямой $$MN$$ и плоскостью грани: а) $$DD_1C_1C$$; б) $$A_1B_1C_1D_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$D$$ и осями вдоль рёбер куба: $$DA$$, $$DC$$, $$DD_1$$. Пусть ребро куба равно $$a$$.

Тогда координаты точек таковы:

$$D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad C(0,a,0),\quad D_1(0,0,a),$$

$$B(a,a,0),\quad B_1(a,a,a),\quad A_1(a,0,a),\quad C_1(0,a,a).$$

Точка $$M$$ делит ребро $$BB_1$$ в отношении $$BM:MB_1=3:2$$, значит

$$M\left(a,a,\frac{3a}{5}\right).$$

Точка $$N$$ делит ребро $$AD$$ в отношении $$AN:ND=2:3$$, поэтому

$$N\left(\frac{3a}{5},0,0\right).$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{NM}=M-N=\left(\frac{2a}{5},\,a,\,\frac{3a}{5}\right).$$

а) Угол между прямой $$MN$$ и плоскостью $$DD_1C_1C$$

Плоскость $$DD_1C_1C$$ задаётся уравнением $$x=0$$, её нормаль направлена вдоль оси $$Ox$$, то есть можно взять вектор $$\overrightarrow{DA}=(a,0,0)$$.

Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости:

$$\sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{\left|\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{DA}\right|}{|\overrightarrow{NM}|\cdot |\overrightarrow{DA}|}.$$

Вычислим:

$$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{DA}=\frac{2a}{5}\cdot a=\frac{2a^2}{5},$$

$$|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+a^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2} =a\sqrt{\frac{4+25+9}{25}}=\frac{a\sqrt{38}}{5},$$

$$|\overrightarrow{DA}|=a.$$

Тогда

$$\sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{\frac{2a^2}{5}}{\frac{a\sqrt{38}}{5}\cdot a}=\frac{2}{\sqrt{38}}.$$

б) Угол между прямой $$MN$$ и плоскостью $$A_1B_1C_1D_1$$

Плоскость $$A_1B_1C_1D_1$$ имеет уравнение $$z=a$$, её нормаль направлена вдоль оси $$Oz$$, то есть можно взять вектор $$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a)$$.

Аналогично:

$$\sin\angle(MN,A_1B_1C_1D_1)=\frac{\left|\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{AA_1}\right|}{|\overrightarrow{NM}|\cdot |\overrightarrow{AA_1}|}.$$

Находим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{AA_1}=\frac{3a}{5}\cdot a=\frac{3a^2}{5}.$$

Так как $$|\overrightarrow{AA_1}|=a$$ и $$|\overrightarrow{NM}|=\frac{a\sqrt{38}}{5}$$, получаем

$$\sin\angle(MN,A_1B_1C_1D_1)=\frac{\frac{3a^2}{5}}{\frac{a\sqrt{38}}{5}\cdot a}=\frac{3}{\sqrt{38}}.$$

Ответ: а) $$\frac{2}{\sqrt{38}}$$; б) $$\frac{3}{\sqrt{38}}$$.