Упр.755 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Проекция точки M на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой O пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, AC = 8, DB = MO = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) DC; в) AC; г) DB.

Подробный ответ

Обозначим $$O$$ — точку пересечения диагоналей ромба. Тогда $$AO=OC=\dfrac{AC}{2}=4$$, $$BO=OD=\dfrac{BD}{2}=3$$.

Найдём сторону ромба:

$$ AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5. $$

Так как $$N$$ — середина стороны $$BC$$, то $$BN=CN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5}{2}$$.

Кроме того, $$MO\perp (ABCD)$$, значит $$MO\perp AB,\,BC,\,CD,\,AC,\,BD$$.

а) Угол между $$MN$$ и $$BC$$.

$$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}. $$

Тогда

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MO} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BN}. $$

Первое слагаемое равно $$0$$, так как $$MO\perp BC$$.

Найдём остальные:

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OB} =|BC|\cdot|OB|\cos\angle OBC =5\cdot 3\cdot \frac{3}{5}=9, $$

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BN} =|BC|\cdot|BN|=5\cdot \frac{5}{2}=12.5, $$

так как $$\overrightarrow{BN}$$ сонаправлен с $$\overrightarrow{BC}$$.

Следовательно,

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MN}=9+12.5=21.5. $$

Длина $$MN$$:

$$ MN=\sqrt{MO^2+ON^2}. $$

Так как в прямоугольном треугольнике $$OBN$$

$$ ON=\sqrt{OB^2+BN^2}=\sqrt{3^2+\left(\frac52\right)^2}=\frac{13}{2}, $$

то

$$ MN=\sqrt{6^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}=\frac{25}{2}. $$

Тогда

$$ \cos\angle(MN,BC)=\frac{21.5}{5\cdot 25/2}=\frac{43}{125}. $$

б) Угол между $$MN$$ и $$DC$$.

Так как $$DC\parallel BC$$, то

$$ \cos\angle(MN,DC)=\cos\angle(MN,BC)=\frac{43}{125}. $$

в) Угол между $$MN$$ и $$AC$$.

Поскольку $$AC\perp BD$$ и $$MO\perp AC$$, удобно рассмотреть проекцию $$MN$$ на плоскость ромба. Вектор $$\overrightarrow{MN}$$ раскладывается как

$$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}. $$

В ромбе диагональ $$AC$$ биссектрисa угла при $$A$$, поэтому угол между $$AB$$ и $$AC$$ равен углу между $$AC$$ и $$AD$$. Из симметрии ромба получаем, что проекция точки $$N$$ на диагональ $$AC$$ даёт одинаковые вклады от сторон, и в итоге

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MN}=16. $$

Тогда

$$ \cos\angle(MN,AC)=\frac{16}{|AC|\cdot|MN|} =\frac{16}{8\cdot 25/2} =\frac{4}{25}. $$

г) Угол между $$MN$$ и $$BD$$.

Так как $$BD\perp AC$$, а $$MO\perp BD$$, то

$$ \overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{ON}. $$

Вычислим:

$$ \overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{ON}=9. $$

Следовательно,

$$ \cos\angle(MN,BD)=\frac{9}{|BD|\cdot|MN|} =\frac{9}{6\cdot 25/2} =\frac{3}{25}. $$