Упр.755 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Проекция точки $$M$$ на плоскость ромба $$ABCD$$ совпадает с точкой $$O$$ пересечения его диагоналей. Точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$, $$AC = 8$$, $$DB = MO = 6$$. Вычислите косинус угла между прямой $$MN$$ и прямой: а) $$BC$$; б) $$DC$$; в) $$AC$$; г) $$DB$$.
Найдём сначала сторону ромба. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то
$$AB=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2} =\sqrt{4^2+3^2}=5.$$
Следовательно, $$BC=CD=5,$$ а также
$$OB=\frac{BD}{2}=3,\qquad OC=\frac{AC}{2}=4.$$
Пусть $$N$$ — середина $$BC$$. Тогда $$BN=CN=\frac{BC}{2}=\frac52.$$
а) Угол между $$MN$$ и $$BC$$
Так как $$MO\perp (ABCD),$$ то $$MO\perp BC.$$ Поэтому
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}.$$
В треугольнике $$OBC$$ имеем
$$\cos\angle OBC=\frac{OB}{BC}=\frac35.$$
Так как точки $$O,N,B$$ лежат на одной прямой, то $$\overrightarrow{ON}$$ направлен вдоль $$\overrightarrow{BC}$$, и
$$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ON} =0+BC\cdot BN=5\cdot\frac52=\frac{25}{2}.$$
Длина $$MN$$:
$$MN=\sqrt{MO^2+ON^2}=\sqrt{6^2+\left(\frac52\right)^2} =\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2}.$$
Тогда
$$\cos\angle(MN,BC)=\frac{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MN}}{BC\cdot MN} =\frac{\frac{25}{2}}{5\cdot\frac{13}{2}}=\frac{5}{13}.$$
б) Угол между $$MN$$ и $$DC$$
Так как $$DC\parallel AB,$$ то $$DC\parallel OB$$. Кроме того, $$MO\perp DC.$$ Тогда
$$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{ON} =0+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{ON}.$$
В треугольнике $$OBC$$
$$\cos\angle OCB=\frac{OC}{BC}=\frac45.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{ON} =DC\cdot ON\cdot\cos\angle(DC,ON) =5\cdot\frac52\cdot\frac45=10.$$
Но $$\overrightarrow{ON}$$ направлен противоположно $$\overrightarrow{OC}$$, поэтому угол между $$DC$$ и $$ON$$ равен $$180^\circ-\angle OCB$$, и в итоге
$$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{MN}=\frac{25}{2}.$$
Тогда
$$\cos\angle(MN,DC)=\frac{\frac{25}{2}}{5\cdot\frac{13}{2}}=\frac{5}{13}.$$
в) Угол между $$MN$$ и $$AC$$
Так как $$AC\perp BD,$$ а $$MO\perp (ABCD),$$ то $$AC\perp MO.$$ Кроме того, $$AC\perp OB$$, поскольку $$OB\subset BD.$$ Поэтому
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MO} +\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{ON}.$$
Поскольку $$O,N,B$$ лежат на одной прямой, то
$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BN}.$$
Но $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OB}=0,$$ а
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BN} =AC\cdot BN\cdot\cos\angle(AC,BN).$$
Из симметрии ромба получаем, что $$BN$$ образует с $$AC$$ угол $$60^\circ$$, поэтому
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BN} =8\cdot\frac52\cdot\frac12=10.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MN}=10,$$
и потому
$$\cos\angle(MN,AC)=\frac{10}{8\cdot\frac{13}{2}}=\frac{5}{26}.$$
г) Угол между $$MN$$ и $$DB$$
Так как $$DB\perp AC,$$ а $$MO\perp (ABCD),$$ то $$DB\perp MO.$$ Кроме того, $$DB\perp ON$$, поскольку $$ON\subset AC.$$ Значит,
$$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{MN}=0.$$
Следовательно,
$$\cos\angle(MN,DB)=0.$$
Ответ: а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$\frac{5}{13}$$; в) $$\frac{5}{26}$$; г) $$0$$.
