Упр.754 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$\angle BAA_1=\angle BAD=\angle DAA_1=60^\circ$$, $$AB=AA_1=AD=1$$. Вычислите длины векторов $$\overrightarrow{AC_1}$$ и $$\overrightarrow{BD_1}$$.
Обозначим векторы рёбер параллелепипеда: $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}.$$ По условию
$$AB=AD=AA_1=1,\qquad \angle BAD=\angle BAA_1=\angle DAA_1=60^\circ.$$
Найдём длину вектора $$\overrightarrow{AC_1}.$$ Имеем
$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} |AC_1|^2&=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\right)^2\\ &=|AB|^2+|AD|^2+|AA_1|^2+2|AB||AD|\cos 60^\circ\\ &\quad+2|AB||AA_1|\cos 60^\circ+2|AD||AA_1|\cos 60^\circ\\ &=1+1+1+2\cdot \frac12+2\cdot \frac12+2\cdot \frac12=6. \end{aligned}$$
Значит, $$|AC_1|=\sqrt6.$$
Теперь найдём длину вектора $$\overrightarrow{BD_1}.$$ Запишем его через рёбра параллелепипеда:
$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} |BD_1|^2&=\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\right)^2\\ &=|AB|^2+|AD|^2+|AA_1|^2-2|AB||AD|\cos 60^\circ\\ &\quad-2|AB||AA_1|\cos 60^\circ+2|AD||AA_1|\cos 60^\circ\\ &=1+1+1-2\cdot \frac12-2\cdot \frac12+2\cdot \frac12=2. \end{aligned}$$
Следовательно, $$|BD_1|=\sqrt2.$$
Ответ: $$|AC_1|=\sqrt6,\quad |BD_1|=\sqrt2.$$
