Упр.753 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ — центр грани $$BB_1C_1C$$. Вычислите угол между векторами: а) $$A_1D$$ и $$AM$$; б) $$MD$$ и $$BB_1$$.

Рассмотрим куб со стороной $$a$$ и введём систему координат с началом в точке $$D$$:

$$D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad C(0,a,0),\quad D_1(0,0,a),$$
$$A_1(a,0,a),\quad B(a,a,0),\quad B_1(a,a,a),\quad C_1(0,a,a).$$

Точка $$M$$ — центр грани $$BB_1C_1C$$, значит

$$M\left(\frac a2,\ a,\ \frac a2\right).$$

а)

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{A_1D}=D-A_1=(-a,0,-a),$$
$$\overrightarrow{AM}=M-A=\left(-\frac a2,\ a,\ \frac a2\right).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{A_1D}\cdot \overrightarrow{AM}=(-a)\left(-\frac a2\right)+0\cdot a+(-a)\left(\frac a2\right)=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0.$$

Следовательно, векторы перпендикулярны, значит

$$\angle\left(\overrightarrow{A_1D},\overrightarrow{AM}\right)=90^\circ.$$

б)

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{MD}=D-M=\left(-\frac a2,-a,-\frac a2\right),$$
$$\overrightarrow{BB_1}=B_1-B=(0,0,a).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{BB_1}=\left(-\frac a2\right)\cdot 0+(-a)\cdot 0+\left(-\frac a2\right)\cdot a=-\frac{a^2}{2}.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{MD}|=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+a^2+\left(\frac a2\right)^2}=a\sqrt{\frac32},$$
$$|\overrightarrow{BB_1}|=a.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{MD}|\cdot |\overrightarrow{BB_1}|} =\frac{-\frac{a^2}{2}}{a\sqrt{\frac32}\cdot a} =-\frac{1}{\sqrt6}.$$

Значит,

$$\angle\left(\overrightarrow{MD},\overrightarrow{BB_1}\right)=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt6}\right)\approx 114^\circ.$$

Ответ: а) $$90^\circ$$; б) $$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt6}\right)\approx 114^\circ$$.