Упр.752 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите косинус угла между прямыми $$AB$$ и $$CD$$, если:
   а) $$A(7;-8;15),\ B(8;-7;13),\ C(2;-3;5),\ D(-1;0;4)$$;
   б) $$A(8;-2;3),\ B(3;-1;4),\ C(5;-2;0),\ D(7;0;-2)$$.

Найдём координаты направляющих векторов прямых.

Для прямой $$AB$$ имеем:

$$\overrightarrow{AB}=(8-7;\,-7-(-8);\;13-15)=(1;\,1;\,-2).$$

Для прямой $$CD$$ имеем:

$$\overrightarrow{CD}=(-1-2;\,0-(-3);\;4-5)=(-3;\,3;\,-1).$$

Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между их направляющими векторами:

$$\cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}.$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot(-3)+1\cdot3+(-2)\cdot(-1)=-3+3+2=2.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,$$

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{19}.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{|2|}{\sqrt6\cdot\sqrt{19}}=\frac{2}{\sqrt{114}}.$$

Теперь рассмотрим пункт б).

$$\overrightarrow{AB}=(3-8;\,-1-(-2);\;4-3)=(-5;\,1;\,1),$$

$$\overrightarrow{CD}=(7-5;\,0-(-2);\,-2-0)=(2;\,2;\,-2).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-5)\cdot2+1\cdot2+1\cdot(-2)=-10+2-2=-10.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+1^2+1^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3,$$

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{|-10|}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{12}}=\frac{10}{3\sqrt3\cdot2\sqrt3}=\frac{10}{18}=\frac59.$$

Ответ: а) $$\frac{2}{\sqrt{114}}$$; б) $$\frac59$$.