Упр.752 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вычислите косинус угла между прямыми AB и CD, если: а) A (7; -8; 15), B (8; -7; 13), C (2; -3; 5), D (-1; 0; 4); б) A (8; -2; 3), B(3; -l;4), C(5; -2; 0), D(7; 0; -2).

Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между их направляющими векторами:

$$\cos\varphi=\frac{|\vec a\cdot \vec b|}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

а) Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(8-7,\,-7-(-8),\,13-15)=(1,1,-2),$$

$$\overrightarrow{CD}=(-1-2,\,0-(-3),\,4-5)=(-3,3,-1).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot(-3)+1\cdot 3+(-2)\cdot(-1)=-3+3+2=2.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,$$

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{19}.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{|2|}{\sqrt6\cdot\sqrt{19}}=\frac{2}{\sqrt{114}}.$$

б) Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(3-8,\,-1-(-2),\,4-3)=(-5,1,1),$$

$$\overrightarrow{CD}=(7-5,\,0-(-2),\,-2-0)=(2,2,-2).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-5)\cdot2+1\cdot2+1\cdot(-2)=-10+2-2=-10.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+1^2+1^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3,$$

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{|-10|}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{12}}=\frac{10}{3\sqrt3\cdot2\sqrt3}=\frac{10}{18}=\frac59.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{\sqrt{114}}$$; б) $$\frac{5}{9}$$.